Драскулки по математика: Свързване на точки

Ти си мен и си в час по математика. И учителят ти не спира да говори за тази статия, която се отнася за това дали алгебрата трябва да бъде преподавана в училище – сякаш осъзнава, че това, което преподава, дори не е алгебра – което би било интересно – а как да извършваме действия със символи и някои специални случаи от елементарната алгебра – което не е истинска алгебра. Затова, вместо да учиш за последователни системи и логическо мислене, прекарваш цяла седмица да запаметяваш как да чертаеш параболи. Водещи новини: Никой не се интересува от параболи. Което е и причината половината от класа да играе популярната игра "Angry Birds" под чиновете си. Но след като все още нямаш смартфон, трябва да прибегнеш до по-благороден и остарял начин да се спасиш от скуката – тоест, да си драскаш. И си измисли своя собствена игра. Игра на драскане, която свързва точките по начини, които учебният ти план по математика никога няма да достигне – само че, вместо да свързваш с най-близките точки, за да откриеш мистериозната скрита картина, имаш този прецизен метод да пропускаш някакъв брой точки и да ги свързваш по този начин. В миналото характеризираше как това работи, ако точките ти са подредени в кръг – да кажем, 11 точки – и свържеш една към точката с 4 точки по-горе, поучаваш тези страхотни звезди. И можеш или да начертаеш правите в реда на точките, или да продължаваш да обикаляш и може би ще свържеш всички точки, а може би не, в зависимост от това колко точки има в твоя кръг и колко точки пропускаш. Но има и други фигури. Кръговете са добри приятели със синусоидни вълни. И синусоидните вълни са добри приятели с квадратните вълни. И, да си признаем, това изглежда доста готино. Всъщност две прости прави линии от точки, свързващи точките от едната права до другата подред, някак ти дава тази чудесна плетена крива. Друг ученик пита учителя кога въобще ще му е нужно да знае как да чертае парабола – дори докато крие параболната графична игра от мултимилионна компания под чина си. Ако учителят ти е помислил върху това, вероятно би помислил, че изстрелването на птици по неща е чудесна причина да учиш за параболи, понеже е осъзнал, че образованието е въпрос повече на пари и престиж, а не толкова на това да станеш по-добър човек, способен да направи велики неща. Ти засега не правиш велики неща, но откриваш, че пътя ти към бъдещото ти величие лежи повече в изобретяване на чудесни нови подреждания за свържи-точките, отколкото в чертаенето на графики на параболи или изстрелването на птици по неща. И тогава започваш да се притесняваш. А ако тази готина линейна крива, която току-що начерта, приблизително представлява парабола? Сякаш учителят ти не осъзнава, че всеки е грабнал телефона си под чина си, но е зле заплатен и работи твърде много, и цялото му слово работи за правдоподобно опровержение, така че той изстрелва към учениците глупостите, които щатът изисква, нужни са за теста и представляват половината от цялата картина, но те изобщо не са заблудени от фалшивия му ентусиазъм или фалшивата математика и той се преструва, че преподава алгебра, а учениците се преструват, че им се преподава алгебра, и всеки друг, включен в системата, е твърде зает да върши каквото и да било друго, но се преструва, че им вярва. Мислиш, че може би това е хипербола, което е подобно на параболата, тъй като и двете са конични сечения. Хипербола е хубав вертикален разрез на конуса, като самият конус е просто като права, завъртяна около окръжност, поради което конусът изглежда като два конуса, които се разпростират в двете посоки; чудесната хипербола пресича двете части. Две идеални криви, които изглеждат несвързани, когато ги разгледаш поотделно, но споделят общото си конично наследство. Докато скучната стара парабола е разрез, направен под ъгъл, целящ напълно да пропусне горната част на конуса и да пропусне извиването около дъното, което би направила елипсата. И е толкова специален и специфичен случай на конично сечение, че всички параболи са напълно едни и същи, просто по-големи или по-малки, или пък изместени. Учителят ти може също толкова добре да ти даде вече начертаните параболи и да трябва да начертаеш координатните системи на параболите, а не параболите в координатните системи. И това е глупаво и го мразиш, и не искаш да учиш как да ги чертаеш, дори ако това означава, че няма да правиш милиард долара от игра, която включва изстрелването на птици по неща. Междувременно всеки, който всъщност се учи да мисли математически, може да се научи да чертае графика на парабола или нещо друго, което му е нужно, за около пет минути. Но обучението как да мислиш е индивидуален процес, който дава сила и отговорност на хората, докато обучението какво да мислиш може да бъде извършено със стандартизирана система и стандартизирани точки и културата ни на извинения изисква да направим последното, да бъдем спокойни в удобната структура на повторение и ясни очаквания. Алгебрата е станала стандартизиран процес и математиката плаче самотна на върха на своя затвор в бръшлянената кула, в който е била заточена. Но ти не се интересуваш от стандартизирани неща, интересуваш се от точки и линиите, които ги свързват. Или може би можеш да ги свържеш с полукръгове, за да дадеш визуална структура на правите, които иначе ще се припокриват. Или можеш да кажеш, че една точка е центърът на окръжността и друга определя един радиус, и да начертаеш цялата окръжност, и да направиш нещата по този начин. Можеш да направиш правила за това как всяка точка е центърът на една окръжност, като съседната ѝ е радиуса, или да кажеш, че една точка остава центъра на всички окръжности, а всички останали определят радиусите. Но тогава ще получиш концентрични окръжности, което предполагам, че трябва да е било очевидно. Но какво ако го направиш по обратния начин и кажеш, че една точка винаги остава на окръжността, а всички други точки са центровете, ето така. Изглежда по-обещаващо. Опитваш да поставиш всички точки в една окръжност и да ги използваш като центрове на окръжност, и да избереш само една точка, през която окръжностите да преминат, и получаваш тази чудесна фигура, която изглежда донякъде като сърце. Нека го наречем, не знам, кардиоида. Което случайно е същата крива, която получаваш, когато успоредни прави като лъчи светлина се отразят от окръжност, същото сърце слънчева светлина в чаша. Или може би, вместо центрове на окръжност, може всички точки да са на кривата на една окръжност, което означава, че ти трябват три точки, за да определиш една окръжност, може би просто една точка и двете ѝ най-близки съседни за начало. И, разбира се, всяко съчетание от окръжности може да се оцвети в два цвята, което означава, че можеш да контрастираш светли и тъмни цветове, за да получиш елегантна цветова схема. Или може би можеш да поставиш някои случайни точки, за да направиш всички възможни окръжности. Само че това ще са много окръжности, така че избираш само тези, които искаш. И после, против волята си, започваш да се чудиш колко точки са нужни за определянето на скучната стара парабола. Понеже параболите всъщност доста приличат на окръжностите, понеже и двете са като екстремни елипси, понеже една окръжност е като да вземем един фокус от елипса и да поставим другия фокус на разстояние 0 от него. И параболата е като елипса, при която единият фокус е отдалечен на безкрайно разстояние. Ето затова всеки те лъже и казва, че хвърлянето на топки или изстрелването на птици има общо с параболите, когато всъщност е основано на елипсите, понеже Земята е сфера и гравитацията всъщност не преминава право надолу. И другият фокус на елиптичната орбита на хвърления от теб обект може да е много отдалечен, но много отдалечен е доста по-близо от безкрайност. Нека не се залъгваме. Не можеш да погледнеш всичко, което изглежда донякъде параболично, и да го наречеш парабола. Естествено, ако свържеш две точки с висяща пружина или верига, това изглежда параболично, както и структурно здравите арки, но те всъщност са дъги и може би не можеш да кажеш от пръв поглед, но ако си архитект, по-добре да знаеш разликата. Въпреки че дъгите са доста свързани с параболите, получаваш ги като се завъртиш около парабола и проследиш фокуса, което ги прави братовчеди на елипсата и дори една хипербола е като една елипса, която е била преобърната отвътре навън, или чийто фокус е преминал през безкрайност и е излязъл от другата страна, или нещо подобно. И, разбира се, параболите и хиперболите, и елипсите са конични сечения, което означава, че идват от права, която е била завъртяна. И една права е точно това, което се случва, когато две точки бъдат свързани. Или може би това, което се случва, когато окръжността ти е толкова голяма, че като екстремната елипса, която става парабола, екстремната окръжност е прекъсната при безкрайност и става права, преди да стане по-голяма от безкрайно голяма, което я връща обратно към другата страна. Тази линейна окръжност, безкрайното пространство помежду ѝ. Или може би една права е това, което става, когато се завъртиш около една окръжност и проследиш фокуса. Или двата фокуса, които са на разстояние 0 един от друг, ако говорим за елипса. Което те кара да се чудиш какво ще получиш, когато се завъртиш около елипса и проследиш фокусите. Всъщност има много страхотни фигури, които можеш да получиш, ако завъртиш фигури около други фигури, като ако завъртиш една окръжност около една окръжност и проследиш фокуса, получаваш просто друга окръжност. Но ако проследиш една точка на ръба, получаваш чудесната ни приятелка - кардиоидата - отново. Така че сега тя е свързана с окръжностите по три начина, което означава, че е близка братовчедка на елипсата и втора братовчедка на безкрайната елипса или параболата. Освен това, ако вземеш една парабола и я завъртиш около единичната окръжност, обръщайки вътрешната и външната част, 1/2 става 2, 100 става 1/100, 1 си остава 1, безкрайност става 0, а ти отново получаваш кардиоида. Кардиоидата е анти-параболата, което е добре, понеже параболите предизвикват тъга, но ти носиш в сърцето си кардиоида. И, разбира се, всеки път, когато искаш да свържеш две точки на лист хартия, вместо да чертаеш правата, можеш да я огънеш правата. Това е хубавото на свързването на точките. Всички стъпки може да са изложени пред теб, можеш да вземеш която следваща стъпка е най-лесна и най-близка, и да знаеш със сигурност какво ще получиш през цялото време. Този начин е безопасен и удобен. Или можеш да опиташ нови начини да свържеш точките и да не знаеш какво ще получиш. Може би ще е нещо велико, може би ще е провал. И когато е провал, вината ще е твоя. Не можеш да виниш никой друг, нито математиката, нито системата, нито систематизирането. Но ако греша, предпочитам грешките да са мои.