Драскулки в математиката: Дракони

Ти си мен и си в час по математика и се очаква да учиш за логаритмите, което вероятно има нещо общо с авангардни изпълнения с ударни инструменти. Но всеки път, когато се опиташ да внимаваш, откриваш, че обясненията на учителя ти за логаритмите вдъхновяват единствено изкуството, което включва барабанене на дърво. Както и да е, учителят ти те поглежда строго. Спираш да барабаниш и започваш да си драскаш. Усещаш нужда за движение, вълнение, така че решаваш да направиш книжка за прелистване в ръба на тетрадката си. Доста лесно е, понеже хартията е тънка. Можеш да проследиш предишната рамка, като я видоизмениш само малко. И после, ако искаш да влезеш в Дзен зоната на унеса си, можеш да направиш всяка нова рамка видоизменена, според някакво просто правило като да продължаваш да добавяш едно ново венчелистче около спирала или да добавяш друга точка в следващото място в спиралата. Или да продължаваш да правиш завъртулката още по-завъртяна. Но какво означава по-завъртяна? Можеш просто да увеличиш изкривяването на завъртулката или можеш да я изкривиш малко повече между завъртулките. Намери точното правило за завъртулката, за да можеш да влезеш в зоната на завъртулката. Представяш завъртулката като зигзаг. В следващия слой можеш просто да задълбочиш зигзага или да поставиш нов зигзаг върху всеки стар зигзаг. Или може зигът е твърде добър да зигзагва и загът е твърде добър да загзигва. Следващото ще е зигзаг заг зиг, зигза – чакай, не така. Това беше заг и тези се превърнаха в зигзагове. Така че трябва да е зигзаг, заг, зиг, заг, зиг, зиг, заг. И после зигзаг, заг, зигзаг, зиг, зиг, зигзаг, заг зиг – чакай... това зиг ли беше? Може би ако ги поставим в някаква справочна диаграма, която генерира всеки нов модел въз основа на – Не! Това трябваше да е за нехайно зигзаг-ване в зоната на завъртулките. Това е неприемливо. Може би, всеки път, когато стигнеш до нов етап, се преструвай, че старият път е просто зигзаг, зигзаг, зигзаг, зигзаг. И за да продължиш така подредено, решаваш да направиш всички прави с еднаква дължина, винаги с прави ъгли между тях. Ето. [ПЕЕ] Чакай, това – А ако опитаме да започнем с три линии? Зиг заг зуг. Добре. После всеки зиг ще получи зиг заг зуг и всеки заг – зуг заг зиг. После зигът става – може би просто върви напред-назад, без значение дали във вътрешната, или във външната част. Откъде започнах? И всичко преминава едно в друго, и става по-голямо, и не се събира на листа. Може би ако беше малко по-отворено нямаше да премине едно в друго. Да кажем, половин шестоъгълник, така че да можеш да запазиш ъглите перфектни. И после трапец вътре и вън. Да, това определено ще свърши работа. Виж. Всъщност така дори можеш да го направиш да премине вътре първо и назад-напред, и няма да премине в себе си. После можеш да го доближиш още повече тук и все още няма да премине в себе си. Освен, че това означава, че ще трябва да започнеш отвън този път. Но това е добре, понеже следващият път отново можеш да го направиш вътре. И сега това е лесен модел. Трапец вътре, трапец вън, трапец вътре, трапец вън. Назад-напред, докато не поставиш последния трапец вътре. И после, следващият път започваш с трапец вън. Въпреки че сега е трудно да кажем кое е вътре и вън, тъй като това става твърде завъртяно. Така че просто се фокусираш върху преминаването от едната страна на правата и после от другата. И чакай... Това изглежда познато. Това не е ли триъгълника на Серпински? Фракталът, който получаваш, когато поставиш един триъгълник в триъгълник и после триъгълници в новите триъгълници, които направи, и после триъгълници в тези нови триъгълници – и защо поставянето на триъгълници в триъгълници ти дава същото нещо като една трапецоидна мета завъртулка? Или това е същото? Което ми припомня за друг фрактал, изграден от триъгълници, при който можеш да направиш тази снежинка, като добавиш триъгълници към триъгълници. Всеки един в средната трета на всяка част на ръба, като осъзнаваш, че напълно можеш да получиш това с метода си на проследяване. Започваш с една права с издутина, после проследяваш всяка права да е права с издутина и така нататък. Което е интересно, понеже този път не правиш завъртулки напред-назад, но издуваш по един и същи начин всеки път. Въпреки че можеш да го направиш до обратния начин. Което те кара да искаш да знаеш какво ще получиш, ако направиш първото нещо. Но вместо винаги да започваш с изкривяване навън, редуваш изкривяване навън и навътре. И това един вид се изкривява към себе си. И това определено ще е по-перфектно с графична хартия или нещо такова. Сега започва да изглежда като триъгълник. От една страна не е толкова готино, колкото спираловидното нещо, което получаваш, когато изкривяванията са в една посока. От друга страна, защо ще получиш триъгълник? И това е солиден триъгълник. Ако продължаваш да правиш това до безкрай, триъгълникът ще се запълни ли нацяло? Тези не направиха това. Въпреки че при това нещо имаш части, които започват да се запълват. Може би тук в даден момент това ще се случи, въпреки че изглежда, че вечно ще е пълно с дупки. Донякъде ти се иска да можеше да вземеш графична хартия и да преминеш направо към това, което се случва по-късно в поредицата. Може би ако имаше някаква диаграма като – тази има права с един десен завой. Следващата преминава надясно, надясно, наляво. И после надясно, надясно, наляво, надясно, надясно, наляво, наляво. Има ли някакво правило? Може би е като онова със зиг-заг-заг-зиговете. Или може би не е. Но тук вероятно има някакво правило. Изведнъж на чина ти пада една бележка от приятеля ти Сам. Той пише: "Изглежда се концентрираш доста усилено. Не ми казвай, че всъщност се занимаваш с математика." Да бе! Пишеш му: "Няма начин. Просто си драскам." И за да направиш пределно ясно, че това не е математика, превръщаш рисунката в дракон и я наричаш драконовата крива. Да. Не искаш да намачкваш чудесната си драконова драсканица, но трябва да я хвърлиш през два реда. Така че прилежно я сгъваш в бележка-копие. Което просто означава, че я сгъваш наполовина и наполовина отново, докато не е лесно да я хвърлиш през стаята в момента, в който учителят ти се обърне – Бам! Да! Перфектно приземяване. Гледаш как Сам я разгъва. И изведнъж имаш чувството, че виждаш нещо познато. Някакъв вид подобие между хартията и – възможно ли е това? Взимаш диаграмата и я сгъваш наполовина. И отново наполовина. И отново. И не само изглежда, че прави същото нещо, но също и показва нов начин да го направиш. Вместо да продължаваш да следиш зиговете и заговете, просто можеш да копираш стария и да го добавиш на 90 градуса от другия, което е напълно проследимо. Бам. Лесно е, докато продължаваш да следиш от кой край да започнеш. И дори не трябва да продължаваш да следиш в какъв ред да начертаеш линиите. Просто трябва да поддържаш нещата приблизително в квадратна мрежа, така че нещата да се подреждат. Лесно е. Докато не стане твърде голямо за хартията и трябва да го драконизираш. Забавно е, понеже става по-голямо и по-голямо. Ако продължиш до безкрайност, ще е безкрайно голямо. Но по първият начин остава като цяло в същия размер. Просто рисуваш повече детайли. Което означава, че ако го правиш до безкрайност, правата ще стане безкрайно дълга, но общият размер ще остане същия. Ще проработи ли това? Безкрайно дълга права, завъртяна в крайна площ. И после, докато свиваш хартията, цялото нещо става по-малко и по-малко, докато, може би, изчезне напълно. Което предполагаш, че има смисъл, понеже краят на хартията остава със същата дължина, без значение колко го сгъваш. Не можеш да го направиш по-дълъг и по-дълъг, както при копирането, където дължината се удвоява всеки път. Вместо това, цялото нещо става по-малко и по-малко. Може би тази мрежа наистина ще се запълни, докато тази безкрайно дълга права е завъртяна в реален солиден двуизмерен триъгълник, в който не е останало празно място. Може би това ще изглежда логично. Или налудничаво. Знаеш, че правите са безкрайно тънки, но ако имаш безкрайно много от тях, може би безкрайностите ще се изключат или нещо подобно. Все едно правата се доближава все повече и повече до себе си, докато се докосне, но не се припокрива, макар да няма място по средата. Което не би имало смисъл, освен ако не го направиш навсякъде наведнъж, така че кой може да каже каква е разликата... Да, звучи напълно правдоподобно. Въпреки че, в този случай има дупки, които в никакъв момент няма да бъдат запълнени, така че все още ще имаш безкрайна права, но тя няма да запълни пространство, а завинаги ще има дупки, но никога няма да се пресича. Къде отива тази безкрайна линия? Както и да е, часът свърши, така че си събираш нещата и си спестяваш въпроса. Все пак утре отново имаш час по математика.