Криволинейни интеграли и векторни полета

Едно от най-основните понятия в цялата физика е понятието работа. Когато за пръв път учиш за работа, се казва просто, че работата е просто силата по разстоянието. По-късно, когато знаеш малко повече за векторите, осъзнаваш, че силата не винаги е по посока на преместването. Тогава научаваш, че работата е равна на дължината – ще го напиша – дължината на вектора на силата в посока на... или компонентът на силата по посока на преместването – преместването е просто разстояние в някаква посока – по дължината на преместването, или може да се каже, по разстоянието на преместването. Ще дам един класически пример. Ако имаме кубче лед или някакъв блок. Използваме лед, защото няма голямо триене. Може би кубчето лед стои върху замръзнало езеро или нещо такова. Да кажем, че дърпам това кубче лед под някакъв ъгъл. Да кажем, че дърпаме под ъгъл, ето така. Това е силата, ето тук. Да кажем, че силата е равна на... това е векторът на силата. Да кажем, че дължината на вектора на силата е – нека да е 10 нютона. Да кажем, че посоката на вектора на силата е – всеки вектор има дължина и посока, така че нека тук посоката да е – 30 градусов ъгъл, или нека да е 60-градусов ъгъл спрямо хоризонталната посока. Това е посоката, в която дърпам. Да кажем, че преместя това кубче лед. Надявам се, че за теб това е преговор. Ако го изместваме с, например, с 5 нютона. Да кажем, че преместването, този вектор на преместването ето тук, неговата дължина е 5 метра. От определението за работа знаем, че никога не казваме, че дърпаме със сила 10 нютона и преместваме кубчето с 5 метра. Не можем просто да умножим 10 нютона по 5 метра. Трябва да намерим дължината на компонента, който е със същата посока като преместването. Така че искам да намеря дължината – ако си представиш, че дължината на този вектор е 10, това е общата сила, но ние търсим дължината на компонента на силата, който има същата посока като изместването. С малко елементарна тригонометрия намираме, че това е 10 по косинус от 60 градуса, което е равно на – косинус от 60 градуса е 1/2, така че това е равно на 5. Значи дължината на вектора на силата, който е по посока на преместването в този случай, е 5 нютона. Сега можем да намерим работата. Можем да кажем, че работата е равна на 5 нютона по – използвам точка, за да покажа, че умножаваме, това не е векторно произведение – по 5 метра, което дава 25 нютон метра, или можем да кажем, че е извършена работа 25 джаула. Това е преговор от физиката. Сега да помислим какво се случва ето тук. Каква е работата? Ако я запишем обобщено, работата е равна на 5 нютона, което е дължината на вектора на силата, по косинус от този ъгъл. Можем да го кръстим тита. Да го напишем обобщено. Значи по косинус от този ъгъл. Това е дължината на вектора на силата по посока на изместването, по косинус от ъгъла между тях, по дължината на изместването. Значи по дължината на изместването. Ако преработя това, мога да напиша, че това е дължината на изместването по дължината на вектора на силата, по косинус от тита. Имаме много клипове на тази тема в плейлиста по линейна алгебра, в плейлиста по физика, където разглеждаме скаларно производение и векторно произведение, като тук това е скаларното произведение на векторите d и F. По принцип, ако искаш да намериш работата, извършена за някакво преместване, което е константа, трябва да имаш постоянна сила, и просто намираш скаларното произведение на тези два вектора. Ако понятието скаларно произведение ти е напълно непознато, трябва да гледаш – има много клипове, 4 или 5 клипа за скаларно произведение и какво представлява, и сравнението му с векторно произведение. Но за да ти припомня логиката сега – когато намираме скаларното произведение на F. d, или на d . F, умножаваме дължината... мога просто да прочета тази формула. Идеята на скаларното произведение е да видим каква част от този вектор е в същата посока като този другия вектор, в този случай е ето толкова. (чертае със светло зелено) След това умножаваме дължините на двата вектора. Точно това, което правим тук. Значи работата е равна на вектора на силата, по-точно скаларното произведение на вектора на силата по вектора на преместването, като се получава някаква скаларна величина. Ще разгледаме някои примери в бъдеще, в които ще видиш, че това е вярно. Всичко дотук е преговор от елементарната физика. Сега да разгледаме един малко по-сложен пример, но принципът е същият. Да дефинираме едно векторно поле. Нека е дадено векторното поле f, като след малко ще разгледаме какво означава това. То е функция от х и от у, и е равно на някаква скаларна функция Р от х и от у, по единичния вектор i или хоризонталния единичен вектор, плюс някаква друга функция Q, скаларна функция от х и от у, по вертикалния единичен вектор j. Какво представлява това? Това е векторно поле. Това е векторно поле в двумерно пространство. Намираме се в равнината ху, или можем да кажем в R2. И двете са верни, не искам да се задълбочавам прекалено в математическия контекст. Какво прави това поле? Ако искам да начертая моята равнина ху, това е – пак имам проблем с чертаенето на права линия. Добре, продължаваме. Това е оста у, а това е оста х. Чертая само първи квадрант, но можеш да начертаеш и отрицателната част на двете оси, ако искаш. Какво прави това? Това все едно ни казва: даваш ми произволно х и произволно у в равнината ху, и ще ти дам някакво число, нали? Когато въведем тук (х; у), ще получим някаква стойност, когато въведем (х; у), получаваме някаква стойност. Така че получаваме някаква комбинация от единичните вектори i и j. Значи получаваме някакъв вектор. Това, което прави векторното поле, е че дефинира вектора, който е свързан с всяка точка в равнината ху. Можеш да кажеш, че ако вземем тази точка в равнината ху, само ще спомена това, получаваме нещо по i, плюс нещо по j, а когато съберем тези двете, ще получим някакъв такъв вектор. Можем да направим това във всяка точка. Взимам съвсем произволни примери. Може би, когато дойда ето тук, векторът ще изглежда ето така. Може би като дойда ето тук, векторът ще изглежда ето така. Може би ето тук векторът ще изглежда ето така. Или когато дойда тук, векторът ще изглежда ето така. Избирам точките произволно. Това дефинира вектор за всички координати (х; у), където тези скаларни функции са правилно дефинирани. Затова се нарича векторно поле. То дефинира какъв е потенциалът, каква е силата, или някакъв друг вид сила във всяка точка, във всяка произволна точка, ако тук има нещо. Може би функцията е такава. Мога да продължа да правя това до безкрай, като запълвам празните места. Но мисля, че схвана идеята. Векторното поле свързва вектор с всяка точка в равнината ху. Нарича се векторно поле, така че вероятно е много логично, че може да се използва за описание на всякакъв вид полета. Например за описание на гравитационно поле или на електрично поле, или на магнитно поле. По принцип ни казва каква сила се прилага върху частица в това поле. Точно това описва. Сега, да кажем, че в това поле имаме някаква частица, която се движи в равнината ху. Да кажем, че тръгва от тук, и че всички тези сили (поставя червена точка на чертежа) действат върху нея, като може би се движи по някакви релси или нещо такова, така че не винаги се движи точно по посока на полето, която то задава. Да кажем, че се движи по траектория като тази. (очертава път в цикламено) Да кажем, че тази траектория, или тази крива, е определена от радиус-вектор, разглеждан като функция. Да кажем, че това се дефинира чрез r от t, което е х от t по i, плюс у от t по единичния вектор j. Това е функцията r от t. За да имаме един краен път, това е валидно, когато t е по-голямо или равно на а, и по-малко или равно на b. Това е пътят на частицата, който тя изминава, под въздействие на всички тези странни сили. Така че, когато частицата е точно тук, може би векторното поле действа върху нея, като прилага сила като тази. Но понеже частицата е върху някакви релси, тя се движи в тази посока. Тогава, когато тя е тук, може би векторното поле е ето такова, но тя се движи в тази посока, защото е върху някакви релси. Всичко, което казах дотук в това видео, е с цел да зададем един фундаментален въпрос. Каква работа се извършва върху частицата от това поле? За да отговорим на този въпрос, можем да разгледаме нещата под лупа. Ще разгледаме под лупа само една малка част от пътя на частицата. Да опитаме да разберем каква работа се извършва в една малка част от този път, защото тя непрекъснато се променя. Полето си променя посоката. Обектът си променя посоката. Да кажем, че когато сме тук, и да кажем, че частицата изминава малка част от този път. Да кажем, че се движи, че изминава едно безкрайно малко разстояние dr. Имаме диференциал, това е диференциален вектор, безкрайно малко преместване. Да кажем, че в рамките на това преместване векторното поле действа върху тази малка област, така че да кажем, че изглежда ето така. То упражнява сила, която изглежда по този начин. Това е векторното поле в тази област, или силата, действаща върху тази частица, точно когато е в тази точка. Нали? Това е безкрайно кратък момент от време в пространството. Можем да кажем, че в тази точка действа постоянна сила. Каква е работата, която се извършва за този кратък период от време? Или какъв е този малък интервал от време? Можем да запишем d работа, или диференциала на работата. По съвсем същата логика, по която решихме простия пример, това е дължината на вектора на силата в посока на изместването, по дължината на самото изместване. Знаем колко е това от примера по-горе. Това е скаларното произведение на силата по нашето съвсем малко преместване. Значи това е равно на скаларното произведение на силата и супер-малкото изместване. Сега, като записваме това, ние просто намираме работата, една много малка, супер малка работа dr. Сега ще съберем тези, ще съберем всички dr, за да намерим общата сума, всички скаларни произведения на f по dr, за да намерим общата работа. И тук ще ни послужи интегралът. Криволинеен интеграл в интервала... можем да го разглеждаме по два начин. Можем да напишем просто скаларното произведение на d по w, но можем да кажем, криволинеен интеграл по контура `с`, като можем да означим това `с` като r, както искаш го наречи, интеграл от dw. Това ще ни даде общата работа. Значи работата е равна на това. Значи можем да напишем интеграл по същия контур от скаларното произведение на f по dr. Това може би ти се струва прекалено абстрактно. Как може да се изчисли нещо подобно? Особено когато всичко е параметризирано относно t. Как ще изразим тези неща чрез t? А ако се замислиш – какво е скаларното произведение на f и dr? Отговорът е... да си спомним какво е dr. Ако си спомняш, dr/dt е равно на х прим от t, или можем да напишем dx, dt, ако искаме, по единичния вектор i, плюс у прим от t, по единичния вектор j. За да намерим dr, можем да умножим двете страни, ако не сме твърде стриктни по отношение на диференциалите, не твърде придирчиви. Получаваме, че dr е равно на х прим от t, dt, по единичния вектор i, плюс у прим от t по диференциала dt, по единичния вектор j. Това тук е нашето dr. Спомни си какво е нашето векторно поле. То е ето това тук горе. Ще го копирам и поставя тук. Виждаме, че скаларното произведение не е чак толкова безумно. Копирам и поставям тук долу. Как ще изглежда този интеграл? Този интеграл ето тук ни дава общата работа, извършена от полето върху тази частица, която се движи по тази траектория. Това е супер фундаментално за всичко по-сериозно, което правиш в областта на физиката. Сега може би ще кажеш – това е интеграл от t = а до t = b. Нали? а е началото на пътя, от t равно на а до t равно на b. Можеш да си представиш, че докато частицата се движи, времето нараства. Тогава какво е скаларното произведение на f и dr? Ако си спомняш какво представлява по принцип скаларното произведение – намираме произведението на съответните компоненти на векторите, като след това събираме тези произведения. Значи това е равно на интеграл от t = а до t = b, от Р от х... но вместо (х; у), това е х от t, х като функция от t и у като функция от t. Това е ето това. По това нещо тук, по този компонент, нали? (подчертава го с жълто) Умножаваме i-компонентите. Значи по х прим от t, dt, и после плюс – сега правим същото с функцията Q. Значи това е Q плюс – ще го напиша на друг ред. Надявам се, че разбираш, че трябва да продължа на същия ред, но просто ми свърши мястото. Плюс Q от (х от t; у от t), по компонента на dr – по компонента у или по компонента j. у прим от t, dt. И сме готови! Това може би все още ти изглежда прекалено абстрактно, но ще видим в следващото видео, че сега всичко е изразено чрез t, така че направо ще интегрираме по отношение на dt. Ако искаме, можем да изнесем пред скоби dt от израза, и тогава ще изглежда малко по-нормално. Но по принцип това е всичко, което трябва да направим. В следващото видео ще видим конкретни примери за решаване на криволинейни интеграли чрез векторно поле (криволинейни интеграли от втори род), или използване на векторни функции.