Основно съдържание

Курс: Физика – 11. клас (България) > Раздел 3

Урок 2: Електрична потенциална енергия и напрежение

Електричен потенциал, напрежение

Формално определение на електричен потенциал и напрежение. Написано от Уили МакАлистър.

Законът на Кулон ни позволява да изчислим силите между статични заряди. Сега ще разгледаме какво се случва, ако зарядите се движат наоколо. Ще открием какво означава извършване на работа в едно електрично поле и ще изведем формални определения за някои нови понятия.

електростатична потенциална енергия
електричен потенциал

Електричната сила и електричното поле са векторни величини (имат големина и посока). Електричният потенциал е скаларна величина (има само големина), което е много удобно.

Нека създадем една проста верига и да зададем няколко въпроса. Започваме с два положителни точкови заряда, разделени от някакво разстояние

r_{A}

. В тази дискусия

Q

ще остане фиксиран на място, а

q

(тестовият ни заряд) ще се движи.

Q

отблъсква

q

(и обратно) със сила, описана от закона на Кулон,

F = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q Q}{{r_{A}}^{2}}

Казано по друг начин, по отношение на електричното поле

Q

създава поле навсякъде в пространството,

E = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Q}{r^{2}}

(посоката на полето на

Q

е по радиална линия, сочеща настрани от

Q

На разстояние

r_{A}

от

q

електричното поле е

E = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Q}{{r_{A}}^{2}}

Можем да изведем силата върху

q

от

Q

по отношение на електричното поле по следния начин:

F = q E

Малкото човече в това изображение показва, че нещо трябва да задържа

q

на едно място. След малко ще накараме малкото човече да свърши малко работа.

Работа и потенциална енергия

Сила е всяко взаимодействие, което променя движението на едно тяло – тласкане или теглене.

F = m a

Общото определение за работа е "сила, действаща от определено разстояние" или

W = F \cdot d

. С обозначението на електричното поле,

W = q E \cdot d

Енергия е "способността да се извърши работа." Когато едно тяло има енергия, то има способността да извърши работа.

Когато една сила извърши работа върху едно тяло, може да се съхрани потенциална енергия. Тяло с потенциална енергия има потенциал да извърши работа. (Не извършва работа сега, но има потенциала да го направи.) Едно тяло има потенциална енергия поради позицията си.

Работата и потенциалната енергия са близко свързани. Допълнителната потенциална енергия, съдържаща се в тялото, е равна на работата, извършена за "пренасянето" на тялото до новата му позиция.

Можеш да прочетеш за концепциите работа и енергия по подробно тук.

Силово поле

Полето е област в пространството, в която наблюдаваме сили. Гравитацията, електричеството и магнетизмът създават полета.

Едно силово поле е консервативно, ако едно тяло се движи в затворен път (движи се по затворена траектория) и не се извършва сумарна работа, обратна на действието на силата, свързана с полето.

Гравитацията е консервативна. Когато вдигнеш една книга, извършваш работа върху книгата. Ако нежно свалиш книгата обратно надолу, книгата извършва работа върху теб. Сумарното количество работа е 0. Можеш да я вдигнеш и свалиш 100 пъти и ако книгата стигне до първоначалната височина, сумарното количество работа е 0. Ако движиш книгата хоризонтално, количеството работа също е 0, понеже няма противопоставяща се сила в хоризонтална посока.

Статичното електрично поле също е консервативно. Без значение по каква траектория се движи заредено тяло в полето, ако зарядът се върне до началната си точка, сумарното количество работа е 0.

Електричната потенциална енергия прилича на гравитационната потенциална енергия

Поведението на заряди в едно електрично поле наподобява поведението на маси в гравитационно поле. Точно както говорим за гравитационна потенциална енергия, можем да говорим и за електрична потенциална енергия.

Има две разлики между електричните полета и гравитацията, които трябва да помниш:

Електричните заряди могат да привличат (подобно на гравитационните маси), но могат също и да отблъскват (което масите никога не правят). Подобните заряди се отдалечават толкова, колкото е възможно.
В ежедневието ни опитът ни с гравитацията е от височина, близка до повърхността на Земята, през малки разстояние в сравнение с размера на планетата ни. За задачи, включващи нещо на повърхността на Земята, силата на гравитацията често се третира като константа. За задачи с електричество взимаме предвид $1 / r^{2}$ ‍. Това прави изчисленията малко по-трудни, но не чак толкова.

И при гравитацията, и при електричеството важното нещо е разликата в потенциалната енергия. Където и да се намира книгата ти, тя има някаква потенциална енергия. Когато придвижиш книгата, ти добавяш или премахваш потенциална енергия в зависимост от мястото, откъдето я преместваш. При движението на зарядите съответно добавяш или премахваш електрична потенциална енергия спрямо началната позиция на заряда.

Ако се чудиш дали едно тяло има потенциална енергия, махни всичко, което може би го задържа на мястото му. Ако тялото се задвижи, то е имало потенциална енергия. Ябълка пада от дърво и те удря по челото? Имала е потенциална енергия. Освобождаваме един заряд в електрично поле; ако той се задвижи, значи е имал потенциална енергия.

Извършване на работа в електрично поле

Какво се случва, ако придвижим

q

по-близо до

Q

? Колко работа е извършена? За да придвижим

q

към

Q

, трябва да "бутаме"

q

достатъчно силно, че да преодолеем електричната сила на отблъскване.

Като цяло, при задачите от електростатиката искаме движението на

q

да е квази-статично, така че да не трябва да се тревожим за кинетичната енергия на движещите се тела. В един квази-статичен процес прилагаме сумарна сила съвсем малко по-голяма от

q \vec{E}

, или се уверяваме, че

\vec{F} - q \vec{E}

е изключително малко. При преместването на

q

то не ускорява, така че няма член за кинетична енергия. Толкова бавно движение означава, че ще е нужно безкрайно дълго време, за да преместим

q

. Това не ни притеснява, понеже само ще говорим за него, няма да го чакаме да се премести.

Колко работа е извършена за преместването на $q$ ‍ от точка $A$ ‍ до точка $B$ ‍ в едно електрично поле?

Когато зарядите се движат в едно електрично поле, нещо трябва да извърши работа, за да накара заряда да се движи. За да придвижим

q

, прилагаме сила, достатъчна само едва-едва да преодолее отблъскващата сила от

Q

Да видим:
Количеството извършена работа е силата по разстоянието,

W = F \cdot d

. Изминатото разстояние е

(r_{A} - r_{B})

. Колко е силата? Това е малко по-сложно, понеже силата се променя през целия път. Колкото по-близо стигаме до

Q

, толкова по-голяма е силата на отблъскване. Колкото по-близо достигнем, толкова по-силно трябва да "бутаме", за да накараме

q

да се движи. Да поставим няколко променливи, за да можем да говорим за това, което се случва тук.

$r$ ‍ е разстоянието от $Q$ ‍ до настоящата позиция на $q$ ‍.
$d r$ ‍ е малка промяна в разстоянието. $d r$ ‍ е толкова малко, че можем да считаме електричната сила за постоянна през това разстояние.

Във всяко електрично поле силата върху един положителен заряд е

F = q E

Необходимата външна сила сочи в противоположната посока,

F_{в ъ н ш н а} = - q E

За конкретния ни пример близо до един точков заряд, електричното поле около

Q

E = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Q}{r^{2}}

И необходимата за преместването на

q

външна сила е

F_{e x t} = - q E = - q \cdot \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Q}{r^{2}}

За да се справим с проблема с промяната на силата във всяка точка, записваме израз за малкото количество работа, необходимо за преместване на

q

на малко разстояние

d r

. Предположението, което правим, е, че можем да направим

d r

толкова малко, че силата да е постоянна за това разстояние. От определението за работа

d W = - q E \cdot d r = - q \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Q}{r^{2}} d r

За да намерим общата работа за придвижването от

А

до

В

, събираме всички малки количества работа

W_{A B} = \int_{r_{A}}^{r_{B}} - q E \cdot d r

W_{A B} = - \frac{q Q}{4 π ϵ_{0}} \int_{r_{A}}^{r_{B}} \frac{1}{r^{2}} d r

Като решаваме определения интеграл,

W_{A B} = - \frac{q Q}{4 π ϵ_{0}} \cdot (- \frac{1}{r}) |_{r_{A}}^{r_{B}}

Външната работа за придвижване на заряд

q

от

A

до

B

близо до точков заряд

Q

W_{A B} = \frac{q Q}{4 π ϵ_{0}} (\frac{1}{r_{B}} - \frac{1}{r_{A}})

Електростатична потенциална енергия

Въпрос: Как се е променила потенциалната енергия на $q$ ‍?

Промяната на потенциалната енергия на

q

е равна на работата, извършена върху

q

, за неговото преместване от

A

до

B

{разлика в електростатичната потенциална енергия}_{A B} = \int_{r_{A}}^{r_{B}} - q \vec{E} \cdot d r = \frac{q Q}{4 π ϵ_{0}} (\frac{1}{r_{B}} - \frac{1}{r_{A}})

Както работата, електростатичната потенциална енергия е скаларна величина.

Сега преработваме този израз и се появява нещо специално. Този начин на разсъждение е подобен на разсъждението ни за електричното поле.

Умножаваме членовете

{разлика в електростатичната потенциална енергия}_{A B} = (\frac{q Q}{4 π ϵ_{0}} \frac{1}{r_{B}}) - (\frac{q Q}{4 π ϵ_{0}} \frac{1}{r_{A}})

Наименуваме двата члена, за да можем да говорим за тях. Поставяме

U_{r} = \frac{q Q}{4 π ϵ_{0}} \frac{1}{r}

U_{r}

представлява електростатичната потенциална енергия на заряда

q

, когато той е на разстояние

r

от

Q

. Промяната в енергията от

A

до

B

може да бъде записана като:

{разлика в електростатичната потенциална енергия}_{A B} = U_{B} - U_{A}

U_{A}

U_{B}

са свързани с едно местоположение в пространството. Тоест

U_{B}

зависи само от местоположение

B

, а

U_{A}

зависи само от местоположение

A

. (И двете зависят от стойностите на

q

Q

.) Това предполага, че

U

може да се приеме за свойство на едно местоположение. Можем да разглеждаме електростатичната потенциална енергия като поле, което съществува в пространството около

Q

. Потенциалната енергия е скаларна величина, така че полето на потенциалната енергия е скаларна величина. Има големина навсякъде в пространството, но няма посока. (Друг пример за скаларно поле е температурата навсякъде в стаята).

Обърни внимание също, че този израз не споменава никакви други точки, така че разликата в потенциалната енергия е независима от пътя от

А

до

В

, по който преминаваш. Това е резултат от консервативната природа на електричните полета.

Разлика в електричния потенциал

С друго опростяване намираме нов начин да помислим какво се случва в едно електрическо пространство. Уравнението по-горе за разликата в електростатичната потенциална енергия изразява как потенциалната енергия се променя за произволен заряд

q

, когато върху него се извърши работа в електрично поле. Определяме нов член, разлика в електричния потенциал (като махаме думите "-статична" и "енергия"), който да представлява нормализираната промяна в електростатичната потенциална енергия.

разлика в електрическия {п о т е н ц и а л}_{A B} = \frac{U_{B}}{q} - \frac{U_{A}}{q}

Разликата в електричния потенциал е промяната на потенциалната енергия, изпитана от един тестов заряд, който има стойност от

+ 1

Разликата в електростатичната потенциална енергия се измерва с мерната единица джаул.
Разликата в електричния потенциал се измерва с мерна единица джаул/кулон.

Електричен потенциал

Можем да наименуваме двата члена в предишното уравнение за разликата в електричния потенциал. Можем да кажем, че има електричен потенциал навсякъде в пространството около

Q

, изразен като

електричен потенциал = \frac{U_{r}}{q}

Може да изглежда странно да мислим за това като за свойство на пространството. (Но не е по-странно от идеята за електрично поле.) По същество казваме, че ако поставим единица тестов заряд на това място, то ще има тази потенциална енергия. Махаме единицата заряд и свойството на пространството пак остава.

Можем да използваме концепцията за електричния потенциал, за да проведем цялата тази дискусия наобратно. Да предположим, че знаем как изглежда електричния потенциал в някаква област в пространството. Можем да намерим работата, необходима за придвижване на едно заредено тяло между две местоположения като:

Изваждаме началния потенциал от крайния потенциал, за да получим разликата в потенциала, и
Умножаваме разликата в потенциала по действителния заряд на внесеното тяло.

Електричен потенциал близо до точков заряд

Близо до точков заряд можем да "свържем точките" с еднакъв потенциал, което ни показва равно потенциални контури. Помни, за един точков заряд има значение само разликата в радиуса, тоест равно потенциалните контури са кръгове с център в заряда, които създават потенциалното поле, в този случай

Q

Напрежение

Разликата в електричния потенциал има много специално име. Наричаме я напрежение, което се измерва с мерната единица волт, в чест на Алесандро Волта, създателят на батерията. Напрежението между точки

А

В

{напрежение}_{A B} = разлика в {електричния потенциал}_{A B} = \frac{U_{B}}{q} - \frac{U_{A}}{q}

Абсолютно напрежение

До сега всички формули се отнасяха за разлика в електричния потенциал. Говорехме за разлика в потенциала между тук и там. Можем ли да измислим понятие за абсолютна разлика в потенциала (абсолютно напрежение)? Да, можем, в определен смисъл. Един установен общоприет начин е да определим

напрежение = 0

в една точка, отдалечена на безкрайно разстояние. В този случай можем да дефинираме абсолютното напрежение, като определим началното местоположение в

r_{A} = \infty

. И тогава напрежението в точка, отдалечена с

r

от точков заряд, е

V_{r} = (\frac{Q}{4 π ϵ_{0}} \frac{1}{r}) - {(\frac{Q}{4 π ϵ_{0}} \frac{1}{\infty})}^{0}

Членът с

1 / \infty

става 0. Абсолютното напрежение в дадена точка в такъв случай се определя като външната работа, необходима за придвижване на единица тестов заряд от безкрайност до някаква точка.

V_{r} = \frac{Q}{4 π ϵ_{0}} \frac{1}{r}

Тук няма нищо магическо. Това е просто преобръщане на фразата. Означава същото нещо като да кажем, че напрежението в точка

x

е разликата в потенциала между

х

и безкрайност. Това върши работа, защото и в двата случая приемаме, че отправната точка за нулево напрежение е в безкрайност.

При определяне на абсолютната гравитационна потенциална енергия е налице същото изискване за общоприета отправна точка. Можем да измерим само разликите в гравитационната потенциална енергия между две точки. Обикновено отправната точка, от която измерваме (под, маса, надморско ниво, центъра на Земята) се разбира от околния контекст. Приемаме културните общоприети практики за отправна точка, когато задаваме въпроси като "Колко си висок?", "Колко висока е тази планина?", "Колко силно гравитацията на Земята придърпва Луната?"

Докато учим за електричния потенциал, използваме една аналогия с гравитацията. Малко е странно (поне за мен), че когато говорим за гравитационен потенциал, няма дума, която да съответства на "напрежение". Просто го наричаме "гравитационен потенциал", без да отдаваме почит на някой учен.

Да обобщим

Термините, които използваме, могат да звучат еднакви, така че е лесно да ги объркаме.

Електростатична потенциална енергия е свойство на едно заредено тяло поради местоположението му в едно електрично поле. Електростатичната потенциална енергия съществува, ако на това местоположение има заредено тяло.
Разликата в електричния потенциал, също позната като напрежение, е външната работа, необходима за преместване на един заряд от едно място на друго място в електрично поле. Разликата в електричния потенциал е промяната в потенциалната енергия, изпитана от един тестов заряд, който има големина $+ 1$ ‍.
Електричният потенциал съществува на дадено място като свойство на пространството. Дадено местоположение има електричен потенциал, дори ако там няма заредена частица.
Абсолютното напрежение в дадена точка е нещо, за което можем да говорим, ако всички са съгласни, че 0 волта са чак при безкрайност. Концепцията за абсолютно напрежение е един вид вербално "жонглиране". Винаги е безопасно да се придържаме към следното определение: напрежението е разлика в потенциала.

Концепцията за напрежението тук е развита чрез използване на фиксиран точков заряд

Q

като източник на електричното поле. Намерихме точен израз за напрежението в пространството около

Q

. Цялата идея за електричен потенциал и напрежение е валидна за всеки вид подреждане на заряди. Разбира се, има различно специфично решение всеки път (уравнението по-горе за

U = …

се променя, но всичко след това, използващо

U

, пак е правилно). Силата на концепцията за напрежението е в това, че описва пространството със скаларно поле. Не е нужно да следим посоките на векторите. Това значително опростява изчисленията.

Какво е волт ?

Може би забеляза, че нещо липсва. Не сме предоставили детайли за мерната единица за напрежението: волт. Волтът е така наречената "производна единица от международната система". Статията за Стандартни мерни единици за електричество съдържа подробно определение за волт.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Физика – 11. клас (България)