Кумулативна геометрична вероятност (по-малко от определена стойност)

Лиляна управлява бизнес за декорации на торти, за който 10% от поръчките се правят по телефона. Нека С е броят поръчки за торти, които Лиляна получава на месец, преди да получи поръчка по телефона. Приема се, че начините за правене на всяка поръчка за торта са независими. Ако направим някои допускания, С е класическа геометрична случайна променлива. Кое ни подсказва това? За да разберем, ще приемем, че правим тези независими опити, където вероятността за успех е константа, и има точно определен сценарий за успех. Поръчка по телефона в този случай е успех. Вероятността за това е 10%. И ще продължим да повтаряме опита, докато постигнем успех. Това е класическа геометрична случайна променлива. Въпросът е да намерим вероятността да бъдат нужни по-малко от 5 поръчки преди Лиляна да получи първата си поръчка по телефона. На практика това е вероятността С да е по-малко от пет. И както винаги, натисни пауза и опитай да се справиш без помощ. И дори да ти е трудно, това е добре. Съзнанието ти ще е по-подготвено за решението, което ще изведем заедно. Добре. Допускам, че е положено усилие от твоя страна да решиш задачата. Ето два начина да подходиш. Можеш да кажеш, е, това ще е просто вероятността С да е равно на едно плюс вероятността С да е равно на две плюс вероятността С да е равно на три плюс вероятността С да е равно на четири. И можем да го изчислим по този начин. Каква е вероятността С да е равно на едно? Това е вероятността нейната първа поръчка да бъде по телефона. Значи имаме 0,1. Каква е вероятността С да е равно на две? Това е вероятността нейната първа поръчка да не е по телефона. Значи едно минус 0,1. Това е 90% шанс първата поръчка да не е по телефона и шансът втората поръчка да бъде по телефона. А вероятността С да е равно на три? Е, първите две поръчки няма да са по телефона, а третата ще бъде по телефона. А за С равно на четири? Първите три няма да са по телефона, а четвъртата ще бъде по телефона. Може да извадим калкулатор и да съберем всички тези и ще получим отговора. Вероятно си мислиш, че това е трудничко да се въведе в калкулатор. Може да има по-лесен начин да преборим проблема. И наистина има. Помисли си, вероятността С да е по-малко от пет е същото нещо като едно минус вероятността да няма телефонна поръчка сред първите четири. Едно минус вероятността да няма телефонна поръчка сред първите четири поръчки. А какво е това? Горното представлява вероятността да имаме поръчка сред първите четири. А това ще бъде същото като едно минус вероятността да нямаме телефонна поръчка сред първите четири. А това е сравнително просто за изчисляване. То ще бъде равно на едно минус... Нека го напиша с друг цвят, за да различаваме за какво говорим. Каква е вероятността да нямаме поръчка по телефона сред първите четири поръчки? За една поръчка вероятността тя да не е по телефона е 0,9. И ако това трябва да е вярно за първите четири, значи ще умножим 0,9 по 0,9 по 0,9 по 0,9. Или 0,9 на степен четвърта. Това е значително по-лесно за изчисляване, затова нека го направим. Да извадим калкулатор. Нека първо пресметна 0,9 на четвърта степен. Ето. И нека извадя полученото от едно. Нека му сменим знака. Прибавям едно към полученото. И получаваме 0,3439. Това тук е равно на 0,3439. Приключихме. Това е вероятността да има по-малко от пет поръчки, за да се получи първата телефонна поръчка.