Основно съдържание

Курс: 12. клас (България) Профилирана подготовка Модул 4 Вероятности и анализ на данни > Раздел 2

Урок 3: Дисперсия и стандартно отклонение на случайна величина

Изчисляване на стандартното отклонение стъпка по стъпка

Въведение

В тази статия ние ще научим как да изчислим стандартното отклонение "на ръка".

Интересно е, че в реалния свят няма статистици, които някога биха изчислявали стандартното отклонение на ръка. Изчисленията са сложни и рискът от допускането на грешка е висок. Също така изчисляването на ръка е много бавен процес. Ето защо статистиците разчитат на електронни таблици и компютърни програми за извършването на сложните пресмятания.

И така, каква е целта на тази статия? Защо отделяме време да изучаваме процес, който всъщност статистиците не използват? Отговорът е, че като се научим да изчисляваме на ръка, това ще ни даде поглед какво представлява стандартното отклонение. Този поглед отвътре е наистина ценен. Вместо да гледаме на стандартното отклонение като на някакви магически числа, предоставени от нашата електронна таблица или компютърна програма, ние ще сме способни да обясним от къде тези числа идват в действителност.

Преглед на това как се изчислява стандартното отклонение

Формулата за стандартно отклонение (СО) е

$СО = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍

където

\sum

означава "сбор на",

x

е една стойност от набора данни,

μ

е средната стойност на набора данни, а

N

е броят точки информация в генералната съвкупност.

Формулата за стандартното отклонение може да изглежда объркваща, но ще придобие смисъл, след като я обясним. В следващите раздели ще преминем през един интерактивен пример стъпка по стъпка. Ето бърз преглед на стъпките, които ще следваме:

Стъпка 1: Намери средната стойност.

Стъпка 2: За всяка стойност, намери квадрата от разликата между конкретната стойност от набора данни и средната стойност.

Стъпка 3: Събери стойностите от стъпка 2.

Стъпка 4: Раздели на броя на стойностите от набора данни.

Стъпка 5: Изчисли корен квадратен от получената сума.

Важна забележка

Горната формула е за намиране на стандартното отклонение на генерална съвкупност. Ако работиш с извадка, трябва да използваш малко по-различна формула (по-долу), която използва

n - 1

, вместо

N

. Целта на тази статия е да те запознае с процеса на изчисляване на стандартно отклонение, който като цяло е един и същ, без значение коя формула използваш.

{СО}_{извадка} = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}}{n - 1}}

Това е страхотен въпрос, но е трудно да се отговори накратко. Имаме много видеа и симулации на тази тема – това е доста сложно и интересно.

Ако искаш да научиш повече за разликата между стандартно отклонение на генерална съвкупност и на извадка и защо те не се изчисляват по един и същи начин, трябва да се насочиш към урок за дисперсия и стандартно отклонение на извадка.

Напред!

Поетапен интерактивен пример за изчисляване на стандартното отклонение.

Първо ние се нуждаем от набор данни, с които да работим. Нека да изберем малък брой данни, така че да не се претоварим с голям брой стойности от набора данни. Ето тук един добър пример:

$6, 2, 3, 1$ ‍

Стъпка 1: Намиране на $μ$ ‍ в $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍

В тази стъпка намираме средната стойност на набора данни, която е представена чрез променливата

μ

Попълни празното място.

μ =

Стъпка 2: Намиране на $| x - μ |^{2}$ ‍ в $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍

В тази стъпка ние намираме разликата между всяка стойност и средната стойност (т.е., отклонението) и квадрата на всяка от тези разлики.

Например първата стойност от данните е

6

и средната е

3

, така че разликата между тях е

3

. Квадратът на разликата е

9

Попълни таблицата по - долу.

Точка информация $x$ ‍	Квадрат на разстоянието от средната стойност $\| x - μ \|^{2}$ ‍
$6$ ‍	$9$ ‍
$2$ ‍	Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като $6$ ‍ несъкратима правилна дроб, като $3 / 5$ ‍ несъкратима неправилна дроб, като $7 / 4$ ‍ смесено число като $1 3 / 4$ ‍ точна десетична дроб като $0.75$ ‍ кратно на ПИ като $12 pi$ ‍ или $2 / 3 pi$ ‍
$3$ ‍	Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като $6$ ‍ несъкратима правилна дроб, като $3 / 5$ ‍ несъкратима неправилна дроб, като $7 / 4$ ‍ смесено число като $1 3 / 4$ ‍ точна десетична дроб като $0.75$ ‍ кратно на ПИ като $12 pi$ ‍ или $2 / 3 pi$ ‍
$1$ ‍	Отговорът ти трябва да бъде цяло число, като $6$ ‍ несъкратима правилна дроб, като $3 / 5$ ‍ несъкратима неправилна дроб, като $7 / 4$ ‍ смесено число като $1 3 / 4$ ‍ точна десетична дроб като $0.75$ ‍ кратно на ПИ като $12 pi$ ‍ или $2 / 3 pi$ ‍

Точка информация $x$ ‍	Разстояние от средната стойност на квадрат $\| x - μ \|^{2}$ ‍
$6$ ‍	$\| 6 - 3 \|^{2} = 3^{2} = 9$ ‍
$2$ ‍	$\| 2 - 3 \|^{2} = 1^{2} = 1$ ‍
$3$ ‍	$\| 3 - 3 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍
$1$ ‍	$\| 1 - 3 \|^{2} = 2^{2} = 4$ ‍

Стъпка 3: Намиране на $\sum | x - μ |^{2}$ ‍ в $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍

Знакът

\sum

означава "сума", така че в тази стъпка ние събираме четирите стойности, които намерихме в стъпка 2.

Попълни празното място.

\sum | x - μ |^{2} =

Стъпка 4: Намиране на $\frac{\sum | x - μ |^{2}}{N}$ ‍ в $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍

В тази стъпка разделяме резултата от Стъпка 3 на променливата

N

, която е броят точки информация.

Попълни празното място.

\frac{\sum | x - μ |^{2}}{N} =

Стъпка 5: Намиране на стандартното отклонение $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍

Ние сме почти готови! Просто изчисли корен квадратен от отговора от стъпка 4 и сме го направили.

Попълни празното място.
Закръгли получения отговор с точност до стотната след десетичния знак.

СО = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}} \approx

Да! Ние го направихме! Ние успешно изчислихме стандартното отклонение на малък набор данни.

Резюме на това, което направихме

Ние разбихме формулата в 5 стъпки:

Стъпка 1: Намери средната стойност

μ

$μ = \frac{6 + 2 + 3 + 1}{4} = \frac{12}{4} = 3$ ‍

Стъпка 2: Намери квадрата на разликата от всяка точка информация до средната стойност

| x - μ |^{2}

$x$ ‍		$\| x - μ \|^{2}$ ‍
$6$ ‍		$\| 6 - 3 \|^{2} = 3^{2} = 9$ ‍
$2$ ‍		$\| 2 - 3 \|^{2} = 1^{2} = 1$ ‍
$3$ ‍		$\| 3 - 3 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍
$1$ ‍		$\| 1 - 3 \|^{2} = 2^{2} = 4$ ‍

Стъпки 3, 4 и 5:

$\begin{aligned} SD & = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}} \\ = \sqrt{\frac{9 + 1 + 0 + 4}{4}} \\ = \sqrt{\frac{14}{4}} Събери квадратите на разстоянията (Стъпка 3). \\ = \sqrt{3, 5} Раздели на броя точки информация (Стъпка 4). \\ \approx 1, 87 Намери корен квадратен (Стъпка 5). \end{aligned}$ ‍

Опитай самостоятелно

Тук е едно напомняне за начина, по който се изчислява формулата:

$СО = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍

И тук е наборът от данни:

$1, 4, 7, 2, 6$ ‍

Намери стандартното отклонение за следното множество от данни.
Закръгли отговора до втория знак след десетичната запетая.

СО =

Намери средното аритметично от стойностите

μ = \frac{1 + 4 + 7 + 2 + 6}{5} = \frac{20}{5} = 4

Намери квадрата на разликата между всяка от стойностите от базата данни и средно аритметичната стойност.

$x$ ‍		$\| x - μ \|^{2}$ ‍
$1$ ‍		$\| 1 - 4 \|^{2} = 3^{2} = 9$ ‍
$4$ ‍		$\| 4 - 4 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍
$7$ ‍		$\| 7 - 4 \|^{2} = 3^{2} = 9$ ‍
$2$ ‍		$\| 2 - 4 \|^{2} = 2^{2} = 4$ ‍
$6$ ‍		$\| 6 - 4 \|^{2} = 2^{2} = 4$ ‍

Приложи формулата

\begin{aligned} СО & = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}} \\ = \sqrt{\frac{9 + 0 + 9 + 4 + 4}{5}} \\ = \sqrt{\frac{26}{5}} \\ = \sqrt{5, 2} \\ \approx 2, 28 \end{aligned}

Отговорът

Стандартното отклонение е приблизително $2, 28$ ‍.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

12. клас (България) Профилирана подготовка Модул 4 Вероятности и анализ на данни