Очаквана печалба от лотариен билет

"Ахмед играе лотарийна игра, при която трябва да избере две числа от нула до девет и една буква от 26-те букви на английската азбука. Може да избере едно и също число и двата пъти. Ако билетът му съвпада с двете числа и буквата, изтеглени по ред, той печели голямата награда и получава 10 405 долара. Ако само буквата му съвпада, но едното или и двете от числата му не съвпадат, той печели малката награда от 100 долара. При всеки друг резултат той губи и не получава нищо. За да играе играта, той трябва да плати 5 долара." При всеки друг резултат той губи и не получава нищо. "Избрал е билета 04R." Предполагаме, че плаща 5 долара за игра и избира билета 04R. Да кажем, че дефинираме една случайна променлива Х и да кажем, че тази случайна променлива е чистата печалба от участието в тази лотарийна игра. Какво се очаква от... Предполагам можем да кажем очакваната стойност от чистата печалба от играта с 04R, което е билетът на Ахмед. Да кажем, че Х е случайна променлива, равна на чистата печалба от играта с този билет. В това видео искам да помислим каква е очакваната стойност на това. Каква е очакваната чиста печалба от играта с 04R? Окуражавам те да спреш видеото и да помислиш самостоятелно. Да помислим каква е очакваната стойност. Тя е сбор от произведенията на вероятността за всеки резултат по чистата печалба от този резултат. Има вероятност за голямата печалба. Мога да напиша, че – нека го направя в червено. Вероятността за спечелване на голямата печалба по нетното му изплащане от голямата печалба. Колко ще е това? Получава 10 405 долара, но това не е нетното изплащане или трябва да кажа чистата печалба. Неговата чиста печалба е това, което получава, минус това, което е платил, за да играе. За да играе, той трябва да плати 5 долара. Това е плюс вероятността да получи малката печалба по изплащането на малката печалба, което ще е 100 долара или по чистата печалба, предполагам, ако получиш малката печалба. Получаваш изплащане от 100 минус тези 5 долара, които трябва да плати, за да играе, а после, накрая, имаш вероятността нито едното да не се случи. Тоест, в случая не печелиш и, в тази ситуация, каква е чистата печалба? Чистата ти печалба в тази ситуация е –5. Плащаш пет долара и не получаваш нищо. За да намериш очакваната стойност, трябва да намериш тези вероятности. Каква е вероятността за голямата печалба? Ще направя това тук – вероятността за голямата печалба. Вероятността той да познае първото число е едно на 10, тъй като има 10 числа. Вероятността да познае второто число е едно на 10, тъй като всички тези са независими, а вероятността да познае буквата... има 26 еднакво вероятни букви, които могат да бъдат изтеглени, така че той има шанс едно на 26 да я познае. Вероятността за голямата печалба е едно на 2600. Това е едно на 2600. Каква е вероятността да спечели малката печалба? Да видим, има шанс едно на 26. Малката печалба се дава, ако познаеш буквата, но не познаеш и двете числа. Има шанс едно на 26 да познае буквата, но тук не приключваме просто с едно на 26, понеже това едно на 26 включва всички сценарии, при които познава буквата, включително сценариите, при които печели голямата печалба, при която познава буквата и двете числа. Трябва да извадим от тази ситуация вероятността да познае двете числа, да познае буквата и двете числа, и вече знаем, че това е едно на 2600. Това става 1/26 минус 1/2600. Причината да извадя това 1/2600 е, че има вероятност 1/26 той да познае тази буква. Това включва сценария, при който познава всичко, но малката награда е само, когато познаеш буквата и едно или нито едно от тези. Ако познаеш и двете от тези, тогава си в случая с голямата печалба. Трябва да извадиш вероятността да спечелиш голямата награда, ако познаеш и трите от тях, за да намериш вероятността за малката награда. Каква е вероятността за загуба? Вероятността да не познаеш нито едно от тези неща. Това е всичко останало. Ще е едно минус тези вероятности ето тук. Ще е едно минус вероятността за малката награда. Вероятността за малката печалба минус вероятността за голямата печалба, това са възможните резултати, така че трябва да дадат сбор от едно или от 100%. Това е едно минус вероятността за малката печалба минус вероятността за голямата печалба. Нека запълним това. Вероятността за малката, това тук... Използвам твърде много червено. Това тук е 1 върху 26 минус едно върху 2600, а това тук е едно минус малката печалба, която е едно върху 26, минус едно върху 2600, минус едно върху 2600. Това се опростява до, да видим, това е едно минус едно върху 26 плюс едно върху 2600, минус едно върху 2600 Тези се изключват взаимно и остава само едно минус едно на 26. Защо е логично това? Начинът, по който получаваш това, е, ако сгрешиш буквата. Имаш шанс едно на 26 да познаеш буквата, а после ще си в една от тези две групи или имаш едно минус 1/26, което е равно на 25 върху 26. Имаш 25/26 шанс да сгрешиш буквата, в който случай не получаваш нищо, в който случай губиш напълно. Нека извадим калкулатора си и да пресметнем това, като ще закръглим до най-близкото пени. Да видим, това ще е 1/2600. Едно делено на 2600 по... да видим, 10 405 минус пет ще е 10 400, по 10 400, това е чистата ти печалба, когато спечелиш голямата награда, а после ще имаш плюс едно делено на 26, минус едно делено на 2600 по чистата печалба за малката награда, която е 100 минус 5, тоест, 95, а после, най-накрая, плюс 25/26. 25 делено на 26...ще сложа скоби тук, за да продължим, както започнахме. 25 делено на 26 по тази нетна печалба. Когато не получиш нищо, трябва да платиш 5 долара и не получаваш нищо, тоест, по –5. Не знам дали ще разпознае това като "по", така че ще запиша просто по –5 и нека изтрия това...а сега заслужаваме аплодисменти. Получаваме очаквана чиста печалба от играта на стойност 2,81 долара, ако закръглим до най-близкото пени. Това ще е равно на 2,81 долара. Това е много необичайна лотарийна игра, след като имаш положителна нетна печалба като играч. Обикновено целта на дейността на лотарията на щата или казиното, или който я ръководи, е организаторите да имат очакваната чиста печалба, а играчът да има очакваната чиста загуба, но в този случай има логика да играеш, което не е вярно за повечето лотарийни игри, и, ако играеш, тук всъщност очакваш чиста печалба от 2,81 долара.