Средно аритметично на сума и разлика на случайни величини

Нека приемем, че имам случайна променлива Х, която е равна на броя кучета, които виждам за един ден. И случайна променлива Y, която е равна на броя котки, които виждам за един ден. Нека приемем, че също така знам и средната стойност на всяка от тези случайни променливи, т.е. математическото очакване. Ето математическото очакване за Х, което мога да означа и като средната стойност на случайната променлива Х. Нека да приемем, че очаквам да видя три кучета на ден. По същия начин за котките математическото очакване на Y може да се означи като средната стойност на Y. И нека за целта на упражнението да приемем, че очаквам да видя по четири котки на ден. Тук дефинирахме, че средната стойност на случайната променлива и очакваната стойност представляват една величина. Сега ще обърнем внимание на въпроса каква ще бъде очакваната стойност на X + Y или по друг начин казано, каква ще е средната стойност на сумата на тези две случайни променливи. Е, оказва се, но няма да го доказвам още, че средната стойност на сумата на случайни променливи е равна на сумата от средните им стойности. Това тук ще бъде равно на средната стойност на случайната променлива Х плюс средната стойност на случайната променлива Y. В този конкретен случай, ако въпросът е какъв ще бъде очакваният брой кучета и котки, които ще видя в даден ден, то ще събера тези средни стойности. Ще се получи три плюс четири, което е равно на седем. Следователно в конкретния случай стойността ще е три плюс четири, което е седем. По сходен начин мога да те попитам колко повече котки ще очаквам да видя за един ден отколкото кучета, тоест очакваната стойност на Y минус X. Колко би било това? Интуитивно би могъл да кажеш, добре, ако очакваната стойност на сумата е сумата от очакваните стойности, тогава очакваната стойност или средната стойност на разликата ще бъде равна на разликата на средните им стойности и това е абсолютно вярно. Това е същото като средната стойност на Y минус X, която е равна на средната стойност на Y минус средната стойност на X. В този случай тя е равна на четири минус три, което е равно на едно. Друг интуитивен начин да гледаме на това е, че броят на котките, които очаквам да видя в даден ден е с едно повече от броя на кучетата. В примера, който използвах, това са дискретни случайни променливи. В даден ден няма да видя 2,2 кучета или π кучета. Самата очаквана стойност не трябва да бъде цяло число, защото може да е средна стойност за много дни. Идеята тук е, че средната стойност на сумата е същото като сумата на средните стойности и средната стойност на разликата на случайни променливи е същото като разликата на средните им стойности. В бъдещо видео ще изведа доказателството на това твърдение.