Определяне на обратните функции на рационални функции

Нека е дадена функцията f(х), която е равна на (2х + 5) върху (4 – 3х). Искаме да намерим коя е нейната обратна функция. Постави видеото на пауза и опитай да я определиш, преди да я намерим заедно. Добре, хайде да решим задачата заедно. Само да си припомним какво представлява обратната функция на дадена функция – ако това е дефиниционното множество на една функция, т.е. това е множеството от всички стойности на х, които можем да въведем във функцията, и да получим действителна стойност на функцията. Да кажем, че тук имаме някаква стойност х, която принадлежи на това дефиниционно множество. Ако приложим функцията към това х, ако въведем това х в тази функция, тогава функцията ще ни даде изходна стойност, която принадлежи на множеството на стойностите на функцията и ние наричаме тази стойност f(х). При обратната функция нещата се случват по обратния път. Ако въведем стойност f(х) в обратната функция, тогава ще получим х. Ето това представлява обратна функция на дадена функция. Как можем да намерим обратната функция на една функция, особено ако функцията е дефинирана с рационален израз като този? Начинът, по който аз разсъждавам, е да кажем, че у е равно на нашата функция от х, или у е функция от х, така че можем да кажем, че у е равно на (2х + 5) върху (4 – 3х). За да изразим обратната връзка между х и у в дадената зависимост, т.е да изразим х чрез у, трябва да разменим местата им. Значи при обратната зависимост ще бъде изпълнено, че х е равно на (2у + 5) върху (4 – 3у). За да можем да изразим това като функция от х, за да кажем колко е у като функция от х за нашата обратна функция, трябва да изразим у. Ще направим някои алгебрични преобразувания. Да видим можем ли да направим това. Първото, което ще направя, е да умножа двете страни на това уравнение по (4 – 3у). Като направим това, в лявата страна ще получим х по всеки от тези два члена. Ще получим 4х минус 3 по у по х, а после това ще е равно на дясната страна, понеже сме умножили по знаменателя, тук ще ни остане само числителя. Това ще е равно на (2у + 5). Това може да ти се струва малко притеснително, защото имаме хиксове и игреци, но това, което искаме да направим, спомни си – искаме да изразим у. Така че хайде да съберем всички членове, които съдържат у, от едната страна, а всички членове без у от другата страна. Да се отървем от това 2у ето тук. Всъщност, можем да го направим и по друг начин. Можем да се отървем от това 2у ето тук, така че хайде да извадим 2у от двете страни. Сега да се отървем от това 4х тук в лявата страна, като извадим 4х от двете страни. После какво ще ни остане? Отляво ще ни остане минус 5, или всъщност нека да е по следния начин, ще остане –3 по у по х, минус 2у. Може би се чудиш какво ще правим сега – ще ти покажа след секунда – това е равно на – тези се унищожават, и ни остава 5 – 4х. Повтарям – опитваме да изразим у. Можем да изнесем пред скоби у и ще получим у по (–3х – 2) е равно на (5 – 4х). Вече сме почти на финала. Можем да разделим двете страни на уравението на (–3х – 2) и ще получим, че у е равно на (5 – 4х) върху (–3х – 2). Можем да го преработим, като умножим и числителя, и знаменателя по –1, което няма да промени стойността. Получаваме (4х – 5) в числителя и (3х + 2) в знаменателя. И сме готови. f обратна като функция от х, за която можем да кажем, че това у е равно на този израз ето тук.