Графики на рационални функции 4

Нека направим графиката на още една рационална функция, защото примерите никога не са излишни. Да кажем, че имаме y = x върху x^2 – х – 6. Първо ще разложим знаменателя на множители, за да можем да намерим вертикалните асимптоти, ако има такива. Какви са тези две числа, които умножени дават минус 6 и сборът им е минус 1? Трябва да имат различни знаци. Нека си напиша x-овете малко по-близо. Едното число трябва да е положително, a другото - отрицателно. 2 и 3 са доста близо, защото разстоянието между тях е 1 и ще извадя по-голямото число, защото получавам отрицателно, когато ги събера. Изглежда, че 3 по x плюс 2 върши работа. Получава се минус 6. Минус 3x плюс 2x. Минус 3 по x плюс 2 по x е минус x, значи върши работа. Това е равно на x върху (x + 2) по (x – 3). И както видяхме в предния клип, тъй като (x + 2) не се съкращава с нищо от числителя и (x – 3) не се съкращава с нищо от числителя, знаем че те могат да бъдат използвани за вертикални асимптоти. Вертикални асимптоти имаме, когато или този, или този член е 0, защото в тези точки уравнението би било неопределено. Това е равно на 0, когато x е равно на –2 и това е равно на 0, когато x е равно на плюс 3. Можем да опитаме това тук. Ако x е равно на –2 или плюс 3, ще получим 0 в знаменателя и y ще е неопределено. Следователно има вертикална асимптота при x равно на –2. Ето тук има вертикална асимптота. Още една вертикална асимптота ще имаме при x = 3. Едно, две, три. Ето я другата вертикална асимптота. Сега да видим има ли хоризонтални асимптоти. Какво се случва, когато x стане много положително или много отрицателно? Както казах преди, просто трябва да видиш коя е най-високата степен в числителя и най-високата степен в знаменателя. Забележи, че членът с най-висока степен в знаменателя е x на квадрат, а този в числителя е само x. Какво ще стане, когато x е много голямо? Представи си, че имаме нещо като един милион върху един милион на квадрат, което е 1 върху 1 милион. Тези членове тук не са от голямо значение. Но този член тук ще расте по-бързо от всичко друго. Той съдържа x на квадрат. Когато x се увеличава, този член ще расте по-бързо от всичко друго, включително от този член горе. Следователно ще се приближава към 0. Когато знаменателят расте по-бързо от числителя, стойността на израза се приближава към 0. Следователно имаме хоризонтална асимптота при y е равно на 0. Мога да начертая това като прекъсната линия върху оста x. Ето я правата y = 0. Пак повтарям, че намираме това като търсим кой член е с най-висока степен. Знаменателят е от по-висока степен, значи ще расте по-бързо от числителя. Можеш да опиташ с калкулатора си. И това важи като се движим в много отрицателна или много положителна посока. Това ще надвие това тук горе. Знаменателят расте по-бързо от числителя, особено когато се приближава към 0. Ще получаваме все по-малки дроби. Просто запомни, 1 върху 10... Какво ще стане, когато x става все по-голямо? Нека ти покажа на моя калкулатор. Да кажем, че x е равно на 10. 10 делено на 10 на квадрат минус 10. Обикновено не е нужно да правиш това. Искам просто да ти покажа какво казва логиката. Опа! Не се опитвам да чертая. Нека изляза оттук. Ако имаме 10 върху 10 на квадрат минус 10 (пак казвам, обикновено няма да се наложи да правиш това). Искам просто да ти покажа, да ти дам логиката. Нека сложа скоби тук. Слагам скоби тук и тук. Получаваме малко число. Какво става, когато x е още по-голямо? Нека го направим 100 вместо 10. Нека всички тези 10-ки са ни 100. Слагаме 100 тук и какво получаваме? Получаваме още по-малко число. И ако опиташ с x равно на 1000, числото ще е още по-малко. И това е така, защото този член тук расте по-бързо от всеки друг член. Затова имаме хоризонтална асимптота при y равно на 0. Сега, след като сме начертали асимптотите, нека опитаме с някои точки. Нека си направим малка таблица. Ето я таблицата. Когато x е равно на 0, колко е y? x е 0, имаме 0 върху всичко това. 0 минус 6, 0 върху минус 6 е просто 0. Нека опитаме когато x е 1, колко се получава? Ще го напиша тук – имаме 1 върху 1 на квадрат минус 1. Това е 0, значи имаме минус 6. А какво имаме, когато x е равно на –1? Когато x е равно на –1, имаме –1 върху –1 на квадрат, което е 1, минус –1. Това е плюс 1, така, минус –1, минус 6. Значи какво е това? Това е –1, значи това ще е –1 върху 2 минус 6, върху минус 4. Това ще е равно на 1/4, значи ще получим положителна стойност. Значи имаме... нека начертая това. Тук е минус 1, тук някъде е 1/4. Това е някъде тук. Ще взема по-тъмен цвят. Имахме точката (0; 0) и после при x = 1, имахме минус 1/6. Можем да продължим да слагаме точки, но изглежда, че когато отдясно вървим към вертикалната асимптота, се придвижваме към плюс безкрайност. И това трябва да е логично. Да видим, движим се към минус 2 отдясно. Значи, ако сложим минус 1,9999999, този член трябва да е много малко положително число. А този член ще е отрицателно число. Минусите се съкращават. Имаме много малко положително число в знаменателя. 1 върху това ни дава много голямо положително число. Когато се приближаваме към другата вертикална асимптота отляво, ще ставаме все по-отрицателни. Калкулаторът ми казва това, защото когато опитах с x = 1, вече имах отрицателна стойност. Но можеш да си представиш с 2,99999, нали? Нека начертая малко по-добре. Cхвана идеята. Ако x е равно на 2,999, се приближаваме много до асимптотата, това ще е положително, това ще е отрицателно, това ще е положително и това ще бъде малко число. Значи ще имаме 1 върху много малко отрицателно число, което, предполагам, е много "отрицателно" число. Това е –1 върху много малко число, значи ще се приближаваме към минус безкрайност. Сега, нека опитаме с някоя точка тук и да видим какво ще стане. Какво става, когато x = 4? Когато x = 4, имаме 4 върху 16 минус 4 минус 6. Какво е това? Това е 16 минус 10. Това е 6. Значи, това е равно на 4/6, което е равно на 2/3. Значи при точка 4, 2/3 е тук, значи 1, 2, 3, 4... 2/3, ето така. Това ме кара да мисля, че трябва да се приближавамe до хоризонталната асимптота, когато отиваме все по-далеч. Вероятно по този начин се приближаваме към плюс безкрайност. Нека начертая малко по-ясно. Ето така. Схващаш идеята. И тук ще се приближаваме все повече до хоризонталната асимптота, когато се приближаваме до безкрайност. Това трябва да е по-добре начертана крива. Правя бъркотия тук. Това трябва да е по-спретната крива. Мисля, че разбираш. Сега, да видим какво се случва, когато x = –3. Когато x = –3, имаме –3 върху –3 на квадрат, което е 9 минус –3, значи това е плюс 3 минус 6. На колко е равно това? Това е равно на –3 върху... това е 12 минус 6 върху 6, нали така, което е равно на 1/2. Значи минус 3, минус 1/2. Минус 1/2 е ето тук. Значи ще се приближаваме до асимптотата, когато стойностите стават много отрицателни. И вероятно ще отидем право надолу, ето така, когато се доближаваме до тази вертикална асимптота тук. Можеш да опиташ и с още точки, ако не ми вярваш. Но нека го начертаем, за да проверим дали сме прави. Уравнението ни е x делено на x^2 – x – 6. Да направим графиката. Ето. - Така изглежда добре. Асимптотата ни е 0 като слизаме надолу. Вертикална асимптота, бам! Отиваме там горе, после обратно долу, и после пак насам. Ето, това изглежда точно като нашата графика. Този калкулатор се държи малко странно, когато се приближаваме до тези стойности, но има същата обща форма. Можем да стесним множеството на стойностите на функцията тук, ако искаме да направим графиката. Нека сложим минимална стойност на x да е 5. И максимална стойност нека също е 5. Малко бързаме тук. Нека сега направим графиката. Бам! Бам! Ето! Това е същата крива, която начертахме тук. Надявам се, че това ти беше приятно. -