Графики на рационални функции 1

Ето тук имам графиката на f(х) и в това видео искам да поговорим дали можем да скицираме тази графика, просто като погледнем задаването на функцията, която е зададена чрез рационален израз. Имаме (2х + 10) върху (5х - 15). Има два начина да направим това. Първо, може да искаш да избереш всички числа, които са лесни за пресмятане. Например какво се случва, когато х = 0? Можем да кажем, че f(0) ще е равна на... всички членове х ще са 0, така че ще ти остане 10 върху -15, което е -10/15, което е -2/3. Можеш да поставиш това. х = 0. f(х) или у = f(х) е -2/3 и виждаме тази точка, нека направя това в по-тъмен цвят, виждаш тази точка ето тук, така че можехме да я поставим. Можем също да кажем: "Кога тази функция е равна на 0?" Функцията е равна на 0, когато... Единственият начин тази функция да е равна на 0 е ако този числител е равен на 0, така че можеш да опиташ да решиш 2х + 10 = 0. Това ще се случи, когато 2х = -10. Извадих 10 от двете страни. Ако разделя двете страни на 2, това ще се случи, когато х = -5. Виждаш това ето тук. Когато х = -5, графиката на функцията пресича оста х. Това са просто две точки, но все още не е достатъчно, за да създадем тази интересна форма тук. Можеш да помислиш за това графиките на кои други функции имат този вид форма. Искам да помислим за граничното поведение на графиката на функцията при различни точки. Първо, искам да помисля за случая, когато графиката на тази функция не е дефинирана и какъв вид поведение можем да очакваме за тази функция, когато не е дефинирана. Тази функция няма да е дефинирана... Единственият начин да я направим недифинирана е ако направя знаменателя равен на 0. На 0 не се дели. Тоест това не е дефинирано. Функцията няма да е дефинирана когато 5х, нека направя това в синьо, когато 5х - 15 = 0. Добавям 15 към двете страни, когато 5х = 15, деля двете страни на 5, когато х = 3, тогава f не е дефинирана. Има два начина една функция да е недифинирана при дадена точка. Може да имаш нещо такова. Нека начертая няколко оси тук. Да кажем, че това е 3. Графиката на функцията може да изглежда ето така. Тя ще е дефинирана... Може да доближи нещо, но просто няма да е дефинирана при точно 3 и после ще продължи ето така. Или другата възможност: може да има вертикална асимптота там. Ако това има вертикална асимптота, тя ще изглежда ето така. Може да продължи нагоре до безкрайност, после може да тръгне надолу от безкрайност от тази страна, или може да дойде от минус безкрайност ето тук. Така би изглеждала вертикалната асимптота, при което, когато приближаваме отляво, графиката доближава вертикално положение, но никога не достига точно до х = 3, предполагам това е един начин да го кажем. Или, графиката на функцията не е дефинирана при х = 3. Докато доближаваш отдясно се получава същото нещо, графиката на функцията в този случай просто се спуска надолу. Почти става вертикална. Доближава минус безкрайност, когато х доближава 3 от положителна посока. Как разбираме това? Очевидно, когато погледнеш тук, когато знаем графиката предварително, и ако кажеш: "Това е лесно. Това е х=10." Нека видим колко... Това е 1, 2, 3, 4, 5, така че всяки от тези са 2, тоест х = 3 е ето тук. Когато погледнеш графиката, ако имаш графиката пред себе си, тогава ще видиш, че това наистина е вертикална асимптота. Просто като гледаш графиката, виждаш, че имаш вертикална асимптота при х = 3. Нека запиша това. Вертикална асимптота... вертикална асимптота при х = 3, но как ще знаеш това? Как ще знаеш, ако нямаше графиката тук, ако имаше просто това? Знаем, че не е дефинирана при 3, но как знаем, че не е точка на прекъсване, вместо вертикална асимптота? Има два начина да разберем това. Един начин е да изпробваш стойности, близки до 3, и да видиш какво се случва. Например можеш да извадиш калкулатора си и да пресметнеш с, да кажем, 3,01. Ако кажеш 2 по 3,01, плюс 10, това е числителят, а после ще разделя това – числителя – на ((5 по 3,01) минус 15). Това ни дава доста голямо число. Огромно число. Ако се доближим още повече, ако пресметнем с (2 по 3,001 плюс 10), делено на 5 по 3,001 – сега изпробвам х = 3,001, минус 15, виждаме, че това е още по-голямо число. Когато х се доближава все повече и повече до 3, f(х) изглежда става много голяма. Изглежда доближава плюс безкрайност. Това е един начин да кажем, че изглежда, поне от тази страна, доближаваме плюс безкрайност, така че щяхме да можем да начертаем нещо подобно, а после можеше да изпробваш по-ниски стойности. Можеше да изпробваш по-ниски стойности, така че можеше да кажеш... Нека поставя последната стойност тук, нека променя 3,001 на 2,999 и нека премина ето тук. Имаме 2,999 и получаваме... Сега имаме много отрицателна стойност. Доближаваме минус безкрайност. Ако изпробваш това, то ще да ти даде доста добра индикация, че графиката ще изглежда ето като това тук, което изглежда съвпада със свързването на тези две точки, върху което вече размишлявахме. Но нека видим какво става, когато х доближава много големи стойности или много положителни стойности, или много отрицателни стойности. Изглежда тук има хоризонтална асимптота. Просто като погледнем графиката, изглежда има някаква стойност, която, когато х доближава много големи стойности, много положителни стойности, f(х) ще доближава тази стойност, тази асимптота, отгоре. А когато х става много отрицателно, изглежда f(х) доближава това отдолу. Но как щяхме да успеем да открием тези неща просто като гледаме това? Един мисловен експеримент е просто да се запиташ какво се случва с f(х), когато х доближава безкрайност? Нека запиша това. Когато х клони към плюс безкрайност, към какво ще клони f(х)? Когато х доближава по-големи и по-големи стойности, +10 и -15 започват да имат далеч по-малко значение. При членовете от най-висока степен числителят и знаменателят започват да доминират. Можем да кажем, че когато х клони към плюс безкрайност, f(х) ще клони все повече и повече към 5х/2х, което е 2/5, което е равно на 2/5. Можеш да кажеш, че f(х) клони към 2/5. Ако искаш да видиш това по-конкретно, нека си представим различни стойности за х, когато х става по-голямо и по-голямо, и по-голямо. Ако имаме... f(х). Ако х е 1, тогава f(х) просто ще е (2 + 10) върху (5 - 15). Тук числото 10 и изваждането на 15 имат голямо значение. Но ако х беше 1000, тогава f(х) щеше да е (2000 + 10) върху (5000 - 15). Сега числата 2000 и 5000 наистина определят дневния ред. После, ако х беше, да кажем, 1 милион, просто ще използвам синьо за повече контраст, тогава f(х) щеше да е (2 милиона + 10) – нека преместя малко надясно – (2 милиона + 10) върху (5 милиона - 15). Тук числата 10 и 15 са почти без значение. Можеш да си представиш, че ако х беше милиард или трилион, или гугол, тогава числата 10 и -15 започват да имат все по-малко и по-малко значение. Тоест когато х клони към плюс безкрайност, тези имат все по-малко значение. Значение имат членовете от най-висока степен, тоест f(х) ще клони към 2х/5х, което е 2/5. Така че f(х) клони към 2/5, а тази права изглежда така. 2/5 е същото като 0,4 – като f(х) – и виждаме това на графиката. f(х) клони към това, но не стига точно дотам. Не стига напълно дотам. Определено се доближава все повече и повече, когато х доближава безкрайност, но не стига точно дотам, понеже винаги ще имаш тези числа +10 и -15, така че никога няма да си точно при 2/5. Същото нещо се случва, когато х става все по-отрицателно и по-отрицателно. Можеш да направиш всички тези стойности отрицателни. Ако това беше -1, това щеше да е -2 и -5. Ако това беше -1000, това щеше да е -2000/-5000. Ако това беше -1 милион, това щеше да е -2 милиона/-5 милиона. Но дори в този случай, виждаш, че f(х) доближава 2х/5х, което доближава 2/5, или можеш да кажеш, че доближава -2/-5, което е 2/5, и виждаш това ето тук. Щяхме да кажем, че тази функция има хоризонтална асимптота при у, равно на хоризонталната права ето тук, у = 2/5. Надявам се, че тази графика тук ни помага да оценим какви всъщност са тези вертикални и хоризонтални асимптоти. Но ако нямахме графиката, щяхме да си кажем, че това не е дефинирано при х = 3. И можехме да изпробваме някои стойности около 3, и щяхме да кажем, че изглежда доближаваме минус безкрайност, когато х доближава -3 отляво. Изглежда доближаваме плюс безкрайност, когато х доближава -3 отдясно. Така че можехме да поставим тази синя точка тук. Можехме да нанесем тези две точки при х = 0, а после можехме да помислим за поведението, когато х клони към безкрайност или минус безкрайност, и да начертаем тази хоризонтална асимптота. Между всички тези това щеше да е доста добър начин да скицираме реалната графика.