Намиране на обратни функции: линейни

И така, имаме f(x) = -х + 4 и графиката на f(x) е начертана тук на нашата координатна равнина. Нека се опитаме да намерим каква е обратната f функция. А за да намеря обратната функция, искам да задам променливата у да е равна на f(x) или бихме могли да напишем, че у = -х + 4. Сега изразили сме у чрез х. За да намерим обратната функция, трябва да направим обратното. Търсим х по отношение на у. И така, нека извадим 4 от двете страни. Получаваме: у - 4 = -х И след това, за да намерим x, можем да умножим двете страни на това уравнение по -1. И така получаваме -у + 4 = х Или просто защото винаги сме свикнали да пишем зависимата променлива от лявата страна, можем да напишем това отново като х = -у + 4 Или друг начин да го напишем е, че обратната f(y) функция е равна на (-у + 4). Това е обратната функция тук и ние сме я написали като функция от y, но можем просто да преименуваме y като х, така че това да е функция от x. Нека го направим. И така, ако просто преименуваме това y на x, получаваме, че обратната f(x) функция е равна на (-х + 4). Тези две функции са идентични. Тук ние просто използвахме y като независимата променлива или като входящата променлива. Тук ние просто използваме х, но това са идентични функции. Сега, просто от любопитство, нека начертаем графиката на обратната функция и да видим как тя може да е свързана с тази ето тук. Ако я погледнеш, тя всъщност изглежда доста идентична. Тя е (-х + 4). Това е точно същата функция. Така че нека видим дали имаме – пресечната точка с оста у е 4, това ще бъде точно същото нещо. Функцията е обратна сама на себе си. Така че, ако трябваше да начертаем графиката ѝ, щяхме да я поставим точно върху тази. Точно върху тази. И така, има няколко начина да се ръзсъждава върху това. В първото видео за обратна функция аз говорих за това как графиките на една функция и нейната обратна са симетрични спрямо правата y = x. А къде е правата y = x? Ами, правата y = x изглежда ето така. Правата y = x изглежда така. А графиката на (-х + 4) е всъщност перпендикулярна на y = х, така че когато ѝ създадеш симетричния образ, един вид я "обръщаш", но всъщност е същата права. Това е нейното собствено отражение. Сега нека се уверим, че това действително има смисъл. Когато си имаме работа със стандартната функция ето там, ако въведем 2, функцията извежда 2. Ако въведем 4, резултатът е 0. Какво става, ако го направим по обратния начин? Ако въведем 2... Добре, 2 извежда 2 така или иначе, така че в това има смисъл. За нормалната функция 4 извежда 0. За обратната функция 0 извежда 4. Така че всъщност в това напълно има смисъл. Нека помислим за това по друг начин. За нормалната функция – нека го напиша изрично отдолу. Това може да е очевидно за теб, но само в случай, че не е, то може да бъде полезно. Нека изберем f(5). f(5) = -1. Или бихме могли да кажем, че функцията f съпоставя 5 на -1. Сега, какво прави обратната f функция? Колко е обратната функция от (-1)? Обратната функция от (-1) е 5. Или бихме могли да кажем, че обратната f съпоставя -1 на 5. Още веднъж, ако помислиш за множествата, нашите дефиниционно множество (ДМ) и функционално множество (ФМ)... Нека кажем, че това е ДМ на f и това е ФМ на f. f ще ни отведе от 5 до -1. Това е, което прави функцията f. И ние виждаме, че обратната f функция ни връща обратно от -1 до 5. Обратната функция f ни връща обратно от -1 до 5, точно както би трябвало да направи. Нека направим още една от тези. Тук имам g(x) = -2х - 1 И така, точно както при последната задача, искам да сложа у да е равно на това. Така че казваме, че y = g(х), което е равно на (-2х - 1). Сега просто решаваме за x. у + 1 = -2х Просто прибавяме 1 към двете страни. Сега можем да разделим двете страни на това уравнение на (-2). И така получаваме -у/2 - 1/2 = х Или можем да напишем: х = -у - 1/2, или можем да напишем обратната функция f(y) като равна на (-у/2 - 1/2). И можем да преименуваме y на x. И можем да кажем, че обратната функция f от... О, нека внимавам тук. Това не трябва да бъде f. Оригиналната функция беше g, така че нека да бъде ясен. Това е обратната g(y) е равна на (-у/2 - 1/2), тъй като ние започнахме с g(x), не f(х). Да се уверим, че имаме нашите правилни означения. Или можем просто да преименуваме y и да кажем, че обратната g(x) е равна на (-х/2 - 1/2). Сега нека начертаем графиката ѝ. Пресечната точка на функцията с оста у е -1/2. Това е точно там. И тя има наклон (ъглов коефициент) от -1/2. Нека започнем от -1/2, ако се придвижим до 1 в положителна посока, ще отидем надолу с 1/2. Ако се придвижим напред отново с 1, графиката отново ще слезе с 1/2. Ако се придвижим назад, графиката ще се премести ето така. Така че правата, ще направя всичко възможно да я начертая, ще изглежда по подобен начин. Просто ще продължа, така че тя ще прилича на нещо подобно и ще продължава в двете посоки. И сега нека видим дали това наистина е симетрично спрямо у = х. Правата у = х изглежда ето така. Можеш да видиш, че са симетрични. Ако направим симетричен образ на синята права спрямо у = х, става тази оранжевата права. Но основната идея е, че функцията първоначално изразява у чрез х. Просто използваме малко алгебра. Намираме x по отношение на y и това по същество е нашата обратна функция, като функция от y, но след това можем да я преименуваме като функция от x.