Въведение в обратните функции

Нека помислим за това какво в действителност правят функциите и след това ще помислим за идеята за обратна функция. Нека започнем с по-ясни функции. Нека f (x) = 2x + 4. Ако взема f (2), то ще бъде равно на 2 пъти 2 плюс 4, което е 4 плюс 4, което е 8. Мога да взема f (3), което е 2 пъти 3 плюс 4, което е равно на 10. 6 плюс 4. Нека помислим за това още малко в абстрактния смисъл. Имам някои стойности, които мога да заместя в тази функция. Може би вече познаваш понятието дефиниционно множество. Множеството от всички стойности, които мога да въведа в тази функция, е дефиниционно множество. И 2 е в това множество, имаме и 3 в него, можем да въведем всяко реално число в тази функция. Всичко това ще бъде реално, но ние го правим хубаво множество тук, само за да ти помогнем да си го представиш. Когато имаме функцията, нека помислим какво означава f (2). Въвеждаме числото 2 и след това функцията дава числото 8. Дава ни стойност 8 за 2. Нека да направим друго множество тук, от всички възможни стойности, които функцията ми може да приеме. Можем да наречем това множество от стойностите на функцията. Има по-формални начини да се говори за това и ще имаме много по-подробно обсъждане на това по-нататък, особено в линейната алгебра, но това са всички различни стойности, които може да приеме. Ако аз взема 2 от нашето дефиниционно множество, въвеждам го във функцията и получавам обратно числото 8. Нека да нарисуваме това. Отиваме от 2 към числото 8 ето там. И това го прави функцията. Функцията прави това свързване. Тази функция свързва 2 и 8. Това тук, което е равно на f от 2. Същата идея. Започваме с 3, функцията свързва 3 с 10. Тя създава асоциация. Функцията свързва 3 с 10. Това повдига интересен въпрос. Има ли начин да се върна от 8 обратно в 2, или има ли начин да се върна от 10 на 3? Или има някаква друга функция? Има ли някаква друга функция, можем да наречем това обратна функция на f, която ще ни върне обратно? Има ли някаква друга функция, която ще ни върне от 10 обратно към 3? Ще наречем това обратна функция f и ще използваме това като нотация и тя ще ни отведе обратно от 10 към 3. Има ли начин да направим това? Тази обратна функция на f ще ни върне ли обратно от... ако въведем 8, ще ни върне ли до 2? Сега всичко това изглежда много абстрактно и трудно. Това, което ще разбереш, е колко лесно е да се намери тази обратна функция на f, и след като го направим, то ще ни покаже за какво точно говорим. Функцията свързва 2 с 8, обратната функция ще ни върне от 8 до 2. Да помислим за това, нека дефинираме... Просто да кажем, че y = f от x. y = f(x) = 2x + 4. Мога да напиша само y = 2 x + 4 и това е нашата функция. Ако ми дадеш x, тя ще ми даде y. Но ние искаме да намерим решението по обратния начин. Ние искаме да дадем y и да получим x. Всичко, което трябва да направим, е да намерим x от y. Нека да направим това. Ако извадим 4 от двете страни на това уравнение... нека да сменя цветовете... ако извадим 4 от двете страни на уравнението, получаваме y – 4 = 2 x. След това, ако разделим двете страни на това уравнение на 2, получаваме y/2 – 4/2, което е 2, е равно на х. Или ако искаш да го запишеш по този начин, само разменяме страните и получаваме x = 1/2y... y/2 – 2. Тук имаме функция от y, която ни дава x, което е точно това, което искахме. Ние искаме функция от тези стойности, която ни дава обратно стойностите на х. Можем да наречем това... може да кажем, че това е равно на... ще го направя в същия цвят... Това е равно на обратната функция f от y. Или нека го напишем малко по-ясно. Можем да кажем, че обратната функция f от y – можем да имаме 10 или 8... множеството от стойностите на функцията е дефиниционно множество за обратната функция f от у. Обратната функция f(y) = 1/2y – 2. Започнахме с нашата първоначална функция у = 2 x + 4, което решихме тук, намерихме y по отношение на x, след което направихме някои алгебрични преобразувания, намерихме x по отношение на y и казваме, че това е нашата обратна функция f от y. Което е това тук? И тогава, ако ние, както знаеш, това е... можеш да заместиш y с а , b, x и каквото искаш да правиш, тогава можем просто да преименуваме y на x. Ако заместим х в тази функция, ще получим обратната функция на f от х е равна на 1/2x – 2. Всичко, което правиш, е, че намираш x и тогава разменяш y и х, ако искаш да го направиш по този начин. Това е най-лесният начин да мислиш за това. И едно нещо, което искам да подчертая, е какво се случва, когато построяваш графиките на функцията и нейната обратна функция. Нека направя бързо една графика тук. И след това ще направя няколко примера за действителното решение на инверсии, но аз наистина просто исках да ти дам основната идея. Функцията ще те отведе от дефиниционното множество към множеството от стойности, обратната функция ще те отведе от дадена точка обратно към оригиналната стойност, ако тя съществува. Ако трябваше да изобразя това... нека направя малка координатна ос ето тук, и координатна ос ето тук. За първата функция, 2x + 4, пресечната точка с оста y ще бъде 1, 2, 3, 4, точно тук и след това графиката ще изглежда така. Тя има наклон от 2 и изглежда като това... нека го направя малко по-добре от това... ще изглежда така. Така ще изглежда тази функция. Как изглежда обратната функция? Как изглежда обратната функция като функция на x? Не забравяй, ние сме намерили решение за x, след което фактически сме разменили x и у. Можем да кажем сега, че y е равно на f обратно на x. Имаме пресечна точка с Оу на минус 2, 1, 2 и сега наклонът е 1/2. Наклонът изглежда така. Да видим дали мога да го направя. Правата изглежда подобно на това. И каква е връзката тук? Искам да кажа, че тези изглеждат един вид свързани, изглежда, че те са симетрични спрямо нещо. Ще стане малко по-ясно как са отразени, ако построим правата y = x. Правата y = x изглежда така. Ще я направя като пунктирана линия. Можеш да видиш, че имаме функцията и нейната обратна функция, те са симетрични спрямо правата y = x. И надявам се, че схващаш логиката тук. Нека да вземем един лесен пример. Нашата функция, когато вземеш 0... f(0) е равно на 4. Нашата функция е свързване на 0 и 4. Обратната функция, ако сме приели, че f е обратното на 4, инверсията на 4 е равно на 0. Или обратната функция свързва от 4 до 0. Което е точно това, което очаквахме. Функцията ни отнася от x към y, а след това ги разменяме, разменихме x и y. Ще вземем обратното. И ето защо то е симетрично спрямо y = x. В този пример, който току-що ти показах тук, функцията ще те отведе от 0 до 4... може би трябва да е в цвета на функцията... функцията ще те отведе от 0 до 4. Стойността на функцията f(0) е 4, ето там, отива от 0 до 4 и след това обратната функция ни връща обратно от 4 до 0. Обратната f ни връща от 4 до 0. Видяхме това ето там. Когато заместим 4 тук, 1/2 по 4 минус 2 е 0. В следващите няколко видео клипове ще направим още примери, за да разбереш наистина как се решава това и да си в състояние да направиш упражненията за прилагането му.