Решаване на квадратни уравнения с допълване до точен квадрат: решения цели числа

Дадено ни е това уравнение, което виждаш на екрана. Постави видеото на пауза и опитай да го решиш. Кои стойности на х удовлетворяват уравнението? Хайде сега да го решим заедно. Един възможен начин за решаване е просто да допълним до точен квадрат лявата страна на уравнението. За да го направим – ще го запиша по следния начин – х на квадрат минус 8 по х, после имаме – ще запиша плюс 1 малко по-далеч, равно на 85. Ако искаме да допълним до точен квадрат, просто трябва да си кажем: "Какво трябва да добавя към двете страни на уравнението, с което изразът от лявата страна ще стане точен квадрат?" Ако разгледаме коефициента минус 8 на члена с х от първа степен, можем да кажем: Да вземем половината на това минус 8." Това е равно на минус 4. После минус 4 на квадрат е равно на плюс 16. Значи отляво ще добавя плюс 16. След това мога да извадя 16 от лявата страна или мога да добавя плюс 16 към дясната страна. Обърни внимание, че правя едно и също нещо от двете страни на уравнението. С какво ни е полезно това? Това, което току-що оградих със скоби, е точен квадрат. Това е равно на х минус 4, на квадрат. Така го замислихме. Погледнахме това минус 8. Половинката му е минус 4. Повдигнахме го на квадрат, и получихме 16. Можеш да провериш, че (х – 4) по (х – 4) е равно на първоначалния израз. После имаме плюс 1, равно на... колко е 85 плюс 16? Това е 101. Сега ще се отървем от тази единица тук отляво. Най-лесният начин е да извадим едно от двете страни на уравнението. Така отляво ще ни остане само (х – 4) на квадрат. Получаваме отляво (х – 4) на квадрат, единиците се унищожават, равно на 100. Ако нещо на квадрат е равно на 100, това означава, че това нещо е равно на плюс или минус корен квадратен от 100. Значи (х – 4) е равно на плюс или минус 10. Просто намираме корен квадратен от 100. Това е логично. Ако повдигнем на квадрат плюс 10, получаваме 100. Ако повдигнем на квадрат минус 10, получаваме 100. Значи (х – 4) е равно на плюс или на минус 10. Сега просто добавям 4 към двете страни на уравнението. Какво получаваме? Получаваме х равно на 4 плюс или минус 10. Друг начин да разсъждаваме тук е, че можем да запишем, че х е равно на 4 плюс 10, което дава 14. После 4 минус 10 дава минус 6. Това са два корена на уравнението. Но има и други начини да решим уравнението. Можем още от самото начало да извадим 85 от двете страни на уравнението. Някои хора предпочитат да решават квадратни уравнения, ако изразът от втора степен е равен на нула. Ако извадим 85 от двете страни, ще получим х на квадрат минус 8 по х, минус 84, равно на нула. Просто извадих 85 от двете страни на това уравнение и получих това уравнение ето тук. Новото уравнение можем да решим по два начина. Можем отново да допълним до точен квадрат. Или можем просто да опитаме да го разложим. Ако допълним до точен квадрат, ще се получи нещо много подобно на това. Всъщност ще го направя много бързо. Ако разгледаме тази част ето тук – х на квадрат минус 8 по х... Пак повтарям, половината от минус 8 е минус 4, което на квадрат е плюс 16. После имаме минус 84. Ще използвам този син цвят, за да проследим какво се случва. Минус 84. После, ако добавя 16 към лявата страна, мога или да го добавя и към дясната страна, значи добавям 16 към двете страни на уравнението, или, за да запазим равенството, мога също да извадя 16 от лявата страна. Добавям 16, изваждам 16. Не променям стойността на израза от лявата страна. После имаме равно на нула. Тази част ето тук, това е (х – 4) на квадрат. Тази част ето тук е минус 100, цялото равно на нула. След това добавяме 100 към двете страни на уравнението и стигаме до съвсем същата стъпка като ето тук горе. Друг начин да решим уравнението е без да допълваме до точен квадрат. Можем да кажем просто, че х на квадрат минус 8 по х, минус 84, е равно на нула. Да видим кои две числа имат произведение минус 84. Те трябва да са с различни знаци, за да може произведението им да е със знак минус. Сборът на тези две числа трябва да е минус 8. Сега можем просто да разложим на множители минус 84, по-точно 84. То се дели на 2 – да разгледаме 84. 84 е равно на 2 по 42. Очевидно единият множител трябва да е със знак минус, а другият със знак плюс, за да получим минус 84. Но разликата на тези две числа, ако едното е положително, а другото е отрицателно, е много по-голяма от 8. Значи не ни вършат работа. Да видим, ще направя няколко опита наум. 3 по 28. Тяхната разлика пак е много по-голяма от 8. 4 по... да видим... 4 по 21, не, и тук разликата между 4 и 21 е по-голяма от 8. Да видим, пет не се съдържа в 84. 6 по 14, това е интересно. Да разгледаме този случай. 6 по 14 дава 84. Едното трябва да е отрицателно. Понеже, когато събираме двете числа, получаваме отрицателно число, това означава, че по-голямото число е отрицателно. Да видим, 6 по минус 14 дава минус 84. 6 плюс минус 14 дава минус 8. Значи можем да разложим това като (х + 6) по (х – 14), равно на нула. Произведението на тези два члена е равно на нула. Това означава, че ако единият от тези два израза е нула, това прави целия израз равен на нула. Можем да кажем, че (х + 6) е равно на нула или (х – 14) е равно на нула. Тук изваждаме 6 от двете страни. Получаваме х равно на минус 6. В другия случай добавяме 14 към двете страни. Получаваме х равно на 14. Същите отговори като при първото решение.