Основно съдържание

Курс: Алгебра 1 > Раздел 13

Урок 5: Въведение в разлагане на квадратни изрази

Разлагане на квадратни изрази: водещ коефициент = 1

Научи как да разлагаш квадратни изрази като произведение на два линейни бинома. Например x²+5x+6=(x+2)(x+3).

Какво трябва да знаеш за този урок

Разлагането на многочлени е представянето им като произведение от два или повече многочлена. Това е обратното на процеса на умножение на многочлени. Ако искаш да научиш повече за това, виж предишния урок за намиране на общи делители.

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще научиш как да разлагаш многочлен от вида

x^{2} + b x + c

като произведение на два двучлена.

Преговор: Умножение на двучлени

Нека разгледаме израза

(x + 2) (x + 4)

Можем да намерим произведението чрез прилагане на разпределителното свойство няколко пъти.

\begin{aligned} (x + 2) (x + 4) & = (x + 2) (x) + (x + 2) (4) \\ = x^{2} + 2 x + 4 x + 8 \\ = x^{2} + 6 x + 8 \end{aligned}

Някои хора използват

П В В П

, за да им помогне да умножат два двучлена.

Това е начин да се увериш, че всеки член от първия двучлен се умножава по всеки член от втория двучлен. По-конкретно това напомня да се умножат

първите

членове в многочлена, след това

външните

членове, след това

вътрешните

членове и накрая

последните

членове.

Например с използване на ПВВП метода за умножение на двучлени,

(x + 2) (x + 4)

ще изглежда така:

$\begin{aligned} (x + 2) (x + 4) & = x \cdot x + x \cdot 4 + 2 \cdot x + 2 \cdot 4 \\ = x^{2} + 4 x + 2 x + 8 \\ = x^{2} + 6 x + 8 \end{aligned}$ ‍

Макар че е правилен метод, ПВВП звучи донякъде загадъчно. Ще е по-лесно да разбереш, че когато прилагаме разпределителното свойство два пъти, всеки член в първия двучлен се умножава по всеки член във втория двучлен.

Следователно имаме, че

(x + 2) (x + 4) = x^{2} + 6 x + 8

От това виждаме, че

x + 2

x + 4

са множители на

x^{2} + 6 x + 8

, но как ще ги намерим, ако не започнем с тях?

Разлагане на тричлени

Можем да обърнем процеса на умножение на двучлени, показан по-горе, за да разложим тричлена (който е многочлен с

3

члена).

С други думи, ако започнем с многочлена

x^{2} + 6 x + 8

, можем да използваме разлагане, за да го запишем като произведение на два двучлена

(x + 2) (x + 4)

Нека да разгледаме няколко примера, за да видиш как се прави това.

Пример 1: Разлагане на $x^{2} + 5 x + 6$ ‍

За да разложим

x^{2} + 5 x + 6

, първо трябва да намерим две числа, произведението от които е

6

(постоянно число) и чийто сбор е

5

(коефициентът

x

Тези две числа са

2

3

, тъй като

2 \cdot 3 = 6

2 + 3 = 5

Можем да създадем списък на всички числа, които при умножение дават

6

. След това в рамките на този списък търсим числата, които при сумиране ще дадат

5

Произведение: $m \cdot n = 6$ ‍	‍	Сбор: $m + n$ ‍
$1 \cdot 6 = 6$ ‍		$1 + 6 = 7$ ‍
$2 \cdot 3 = 6$ ‍		$2 + 3 = 5$ ‍
$(- 1) \cdot (- 6) = 6$ ‍		$(- 1) + (- 6) = - 7$ ‍
$(- 2) \cdot (- 3) = 6$ ‍		$(- 2) + (- 3) = - 5$ ‍

След това можем да добавим всяко едно от тези числа към

x

, за да оформим двата делителя-двучлени:

(x + 2)

(x + 3)

Да обобщим: ние разложихме тричлена както следва:

$x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$ ‍

Можем да проверим разлагането чрез умножаване на двата двучлена:

$\begin{aligned} (x + 2) (x + 3) & = (x + 2) (x) + (x + 2) (3) \\ = x^{2} + 2 x + 3 x + 6 \\ = x^{2} + 5 x + 6 \end{aligned}$ ‍

Произведението на

x + 2

x + 3

наистина е

x^{2} + 5 x + 6

. Нашето разлагане е правилно!

Провери знанията си

1) Разложи $x^{2} + 7 x + 10$ ‍.

За да разложим

x^{2} + 7 x + 10

, трябва да намерим делителите на

10

, които се сумират в

7

Таблицата по-долу показва всички възможни делители на

10

и техните суми.

Произведение: $m \cdot n = 10$ ‍	‍	Сбор: $m + n$ ‍
$1 \cdot 10 = 10$ ‍		$1 + 10 = 11$ ‍
$2 \cdot 5 = 10$ ‍		$2 + 5 = 7$ ‍
$(- 1) \cdot (- 10) = 10$ ‍		$(- 1) + (- 10) = - 11$ ‍
$(- 2) \cdot (- 5) = 10$ ‍		$(- 2) + (- 5) = - 7$ ‍

Само една двойка множители отговаря на условията на задачата:

2

5

Можем да сумираме всяко едно от тези числа в

x

, за да оформим двата двучленни делителя:

(x + 2)

(x + 5)

. Разлагането на многочлена е дадено по-долу.

$x^{2} + 7 x + 10 = (x + 2) (x + 5)$ ‍

2) Разложи $x^{2} + 9 x + 20$ ‍.

За да разложим

x^{2} + 9 x + 20

, трябва да намерим делителите на

20

, които се сумират в

9

Таблицата по-долу показва всички възможни делители на

20

и техните суми.

Произведение: $m \cdot n = 20$ ‍	‍	Сбор: $m + n$ ‍
$1 \cdot 20 = 20$ ‍		$1 + 20 = 21$ ‍
$2 \cdot 10 = 20$ ‍		$2 + 10 = 12$ ‍
$4 \cdot 5 = 20$ ‍		$4 + 5 = 9$ ‍
$(- 1) \cdot (- 20) = 20$ ‍		$(- 1) + (- 20) = - 21$ ‍
$(- 2) \cdot (- 10) = 20$ ‍		$(- 2) + (- 10) = - 12$ ‍
$(- 4) \cdot (- 5) = 20$ ‍		$(- 4) + (- 5) = - 9$ ‍

Само една двойка множители отговаря на условията на задачата:

4

5

Можем да сумираме всяко едно от тези числа в

x

, за да оформим двата двучленни делителя:

(x + 4)

(x + 5)

. Разлагането на многочлена е дадено по-долу.

$x^{2} + 9 x + 20 = (x + 4) (x + 5)$ ‍

Нека да разгледаме още няколко примера и да видим какво можем да научим от тях.

Пример 2: Разлагане на $x^{2} - 5 x + 6$ ‍

За да разложим

x^{2} - 5 x 6

, нека първо намерим две числа, произведението от които е

6

, и чийто сбор е

- 5

Тези две числа са

- 2

- 3

, тъй като

(- 2) \cdot (- 3) = 6

(- 2) + (- 3) = - 5

Можем да създадем списък на всички числа, които при умножение дават

6

. След това в рамките на този списък търсим числата, които при сумиране ще дадат

- 5

Произведение: $m \cdot n = 6$ ‍	‍	Сбор: $m + n$ ‍
$1 \cdot 6 = 6$ ‍		$1 + 6 = 7$ ‍
$2 \cdot 3 = 6$ ‍		$2 + 3 = 5$ ‍
$(- 1) \cdot (- 6) = 6$ ‍		$(- 1) + (- 6) = - 7$ ‍
$(- 2) \cdot (- 3) = 6$ ‍		$(- 2) + (- 3) = - 5$ ‍

След това можем да добавим всяко едно от тези числа към

x

, за да оформим двата двучленни делителя:

(x + (- 2))

(x + (- 3))

Разлагането е дадено по-долу:

$\begin{aligned} x^{2} - 5 x + 6 & = (x + (- 2)) (x + (- 3)) \\ = (x - 2) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

Начин на разлагане: Обърни внимание, че и двете числа, необходими за разлагането на

x^{2} - 5 x + 6

са отрицателни

(- 2

- 3)

. Това е така, защото тяхното произведение трябва да бъде положително

(6)

, а техният сбор трябва да бъде отрицателен

(- 5)

По принцип, когато разлагаме

x^{2} + b x + c

, ако

c

е положително и

b

е отрицателно, то и двата делителя ще бъдат отрицателни!

Пример 3: Разлагане на $x^{2} - x - 6$ ‍

Можем да запишем

x^{2} - x - 6

като

x^{2} - 1 x - 6

За да разложим

x^{2} - 1 x - 6

, нека първо намерим две числа, които като се умножат, дават

- 6

, и като се сумират, дават

- 1

Тези две числа са

2

- 3

, тъй като

(2) \cdot (- 3) = - 6

2 + (- 3) = - 1

Можем да създадем списък на всички числа, които при умножение дават

- 6

. След това в рамките на този списък търсим числата, които при сумиране ще дадат

- 1

Произведение: $m \cdot n = - 6$ ‍	‍	Сума: $m + n$ ‍
$(- 1) \cdot - 6 = 6$ ‍		$(- 1) + 6 = 5$ ‍
$1 \cdot - (6) = 6$ ‍		$1 + (- 6) = - 5$ ‍
$(- 2) \cdot 3 = - 6$ ‍		$(- 2) + 3 = 1$ ‍
$(2) \cdot (- 3) = - 6$ ‍		$(2) + (- 3) = - 1$ ‍

След това можем да добавим всяко едно от тези числа към

x

, за да оформим двата двучленни делителя:

(x + 2)

(x + (- 3))

Разлагането е дадено по-долу:

$\begin{aligned} x^{2} - x - 6 & = (x + 2) (x + (- 3)) \\ = (x + 2) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

Начини на разлагане: Обърни внимание, че за да разложим

x^{2} - x - 6

, имаме нужда от едно положително число

(2)

и едно отрицателно число

(- 3)

. Това е така, защото тяхното произведение трябва да бъде отрицателно

(- 6)

По принцип, когато разлагаме

x^{2} + b x + c

, ако

c

е отрицателно, тогава единият делител ще бъде положителен, а другият - отрицателен.

Обобщение

По принцип, за да разложим един тричлен от вида

x^{2} + b x + c

, трябва да намерим делителите на

c

, чийто сбор е

b

Да предположим, че тези две числа са

m

n

, така че

c = m n

b = m + n

, тогава

x^{2} + b x + c = (x + m) (x + n)

Провери знанията си

3) Разложи $x^{2} - 8 x - 9$ ‍.

За да разложим

x^{2} - 8 x + - 9

, трябва да намерим делителите на

- 9

, чийто сбор е

- 8

Тъй като произведението на тези две числа е

- 9

, едното трябва да бъде положително, а другото трябва да бъде отрицателно.

Делителите на

- 9

са изброени в таблицата по-долу.

Произведение: $m \cdot n = - 9$ ‍	‍	Сума: $m + n$ ‍
$1 \cdot (- 9) = - 9$ ‍		$1 + (- 9) = - 8$ ‍
$(- 1) \cdot 9 = - 9$ ‍		$- 1 + 9 = 8$ ‍
$(- 3) \cdot 3 = - 9$ ‍		$- 3 + 3 = 0$ ‍

Обърни внимание тук, че

1

- 9

удовлетворяват тези изисквания. Можем да добавим всяко едно от тези числа към

x

, за да получим два двучленни делителя:

(x + 1)

(x + (- 9))

. Разлагането на многочлена е дадено по-долу.

$\begin{aligned} x^{2} - 8 x - 9 & = (x + 1) (x + (- 9)) \\ = (x + 1) (x - 9) \end{aligned}$ ‍

4) Разложи $x^{2} - 10 x + 24$ ‍.

За да разложим

x^{2} - 10 x + 24

, трябва да намерим делителите на

24

, сборът на които е

- 10

Тъй като произведението на тези две числа трябва да е

24

и сборът трябва да е

- 10

, и двете трябва да бъдат отрицателни.

Делителите на

24

(когато и двата са отрицателни) са изброени в таблицата по-долу.

Произведение: $m \cdot n = 24$ ‍	‍	Сума: $m + n$ ‍
$(- 1) \cdot (- 24) = 24$ ‍		$- 1 + (- 24) = - 25$ ‍
$(- 2) \cdot (- 12) = 24$ ‍		$- 2 + (- 12) = - 14$ ‍
$(- 3) \cdot (- 8) = 24$ ‍		$- 3 + (- 8) = - 11$ ‍
$(- 4) \cdot (- 6) = 24$ ‍		$- 4 + (- 6) = - 10$ ‍

Обърни внимание, че

- 4

- 6

удовлетворяват тези изисквания. Можем да добавим всяко едно от тези числа към

x

, за да оформим два двучленни делителя:

(x + (- 4))

(x + (- 6))

. Разлагането на многочлена е дадено по-долу.

$\begin{aligned} x^{2} - 10 x + 24 & = (x + (- 4)) (x + (- 6)) \\ = (x - 4) (x - 6) \end{aligned}$ ‍

5) Разложи $x^{2} + 7 x - 30$ ‍.

За да разложим

x^{2} 7 x + - 30

, трябва да намерим делителите на

- 30

, сборът на които е

7

Тъй като произведението на тези две числа трябва да е

- 30

, едното трябва да бъде положително, а другото трябва да бъде отрицателно.

Делителите на

- 30

са изброени в таблицата по-долу.

Произведение: $m \cdot n = - 30$ ‍	‍	Сума: $m + n$ ‍
$1 \cdot (- 30) = - 30$ ‍		$1 + (- 30) = - 29$ ‍
$(- 1) \cdot 30 = - 30$ ‍		$- 1 + 30 = 29$ ‍
$2 \cdot (- 15) = - 30$ ‍		$2 + (- 15) = - 13$ ‍
$(- 2) \cdot 15 = 30$ ‍		$- 2 + 15 = 13$ ‍
$3 \cdot (- 10) = 30$ ‍		$3 + (- 10) = - 7$ ‍
$(- 3) \cdot 10 = - 30$ ‍		$- 3 + 10 = 7$ ‍
$5 \cdot - (6) = 30$ ‍		$5 + (- 6) = - 1$ ‍
$(- 5) \cdot 6 = - 30$ ‍		$- 5 + 6 = 1$ ‍

Обърни внимание тук, че

- 3

10

удовлетворяват тези изисквания. Можем да прибавим всяко едно от тези числа към

x

, за да получим два двучленни делителя:

(x + (- 3))

(x + (10))

. Разлагането на многочлена е дадено по-долу.

$\begin{aligned} x^{2} + 7 x - 30 & = (x + (- 3)) (x + (10)) \\ = (x - 3) (x + 10) \end{aligned}$ ‍

Защо това върши работа?

За да разберем защо този метод на разлагане действа, нека да се върнем към първоначалния пример, в който разложихме

x^{2} + 5 x + 6

като

(x + 2) (x + 3)

Ако се върнем и умножим двата двучленни множителя, можем да видим какво влияние оказват

2

3

върху оформянето на произведението

x^{2} + 5 x + 6

$\begin{aligned} (x + 2) (x + 3) & = (x + 2) (x) + (x + 2) (3) \\ = x^{2} + 2 x + 3 x + 2 \cdot 3 \\ = x^{2} + (2 + 3) x + 2 \cdot 3 \end{aligned}$ ‍

Виждаме, че коефициентът на члена

x

е сумата от

2

3

и константният член е произведение на

2

3

Метод на разлагане чрез произведение на сборове

Нека да повторим това, което току-що направихме с

(x + 2) (x + 3)

за

(x + m) (x + n)

$\begin{aligned} (x + m) (x + n) & = (x + m) (x) + (x + m) (n) \\ = x^{2} + m x + n x + m \cdot n \\ = x^{2} + (m + n) x + m \cdot n \end{aligned}$ ‍

За да обобщим този процес, получаваме следното уравнение:

$(x + m) (x + n) = x^{2} + (m + n) x + m \cdot n$ ‍

Това се нарича метод на разлагане чрез произведение на сборове.

Това показва защо щом изразим тричлена

x^{2} + b x + c

като

x^{2} + (m + n) x + m \cdot n

(чрез намиране на двете числа

m

n

, така че

b = m + n

c = m \cdot n

), можем да разложим този тричлен като

(x + m) (x + n)

Въпрос за размисъл

6) Може ли този метод да се използва за разлагането на $2 x^{2} + 3 x + 1$ ‍?

При този метод ние разлагаме тричлен, като го приравняваме към

(x + m) (x + n)

за някои числа

m

n

. Това означава, че водещият член на този многочлен винаги ще бъде

x^{2}

. Тъй като водещият член на този многочлен е

2 x^{2}

, той не може да бъде разложен чрез този метод.

Кога можем да използваме този метод, за да разлагаме?

По принцип методът на разлагане чрез произведение на сборове е приложим само тогава, когато можем да представим тричлена като

(x + m) (x + n)

за някои цели числа

m

n

Това означава, че водещият член на тричлена трябва да бъде

x^{2}

(а не например

2 x^{2}

), за да може изобщо да се помисли за този метод. Това е така, защото произведението на

(x + m)

(x + n)

винаги ще бъде полином с водещ член

x^{2}

Но не всички тричлени с

x^{2}

като водещ член могат да бъдат разложени. Например

x^{2} + 2 x + 2

не може да бъде разложен, защото няма две цели числа, чиято сума е

2

и чието произведение е

2

В бъдещи уроци ще научим повече начини за разлагане на повече видове многочлени.

Задачи с повишена трудност

7*) Разложи $x^{2} + 5 x y + 6 y^{2}$ ‍.

Припомни си следното разлагане:

$x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$ ‍

Многочленът

x^{2} + 5 x y + 6 y^{2}

е много подобен на

x^{2} + 5 x + 6

. Единствената разлика е, че средният член се умножава по

y

и последният член се умножава по

y^{2}

Можем да получим това чрез добавяне на един делител

y

към всеки двучлен:

$\begin{aligned} (x + 2 y) (x + 3 y) & = x^{2} + 3 x y + 2 x y + 6 y^{2} \\ = x^{2} + 5 x y + 6 y^{2} \end{aligned}$ ‍

Разлагането е

(x + 2 y) (x + 3 y)

8*) Разложи $x^{4} - 5 x^{2} + 6$ ‍.

Този многочлен е от вида

x^{2} + b x + c

, въпреки че едно заместване прави това по-лесно за забелязване.

Нека

Y = x^{2}

. Сега можем да запишем многочлена, както следва:

$\begin{aligned} x^{4} - 5 x^{2} + 6 & = (x^{2})^{2} - 5 x^{2} + 6 \\ = Y^{2} - 5 Y + 6 \end{aligned}$ ‍

Тъй като

(- 2) \cdot (- 3) = 6

(- 2) + (- 3) = - 5

, многочленът се разлага, както следва:

$= (Y - 2) (Y - 3)$ ‍

Сега, тъй като

Y = x^{2}

, можем да заместим обратно, за да намерим разлагане на първоначалния многочлен.

$\begin{aligned} = (x^{2} - 2) (x^{2} - 3) \end{aligned}$ ‍

Разлагането е

(x^{2} - 2) (x^{2} - 3)

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Алгебра 1

Курс: Алгебра 1 > Раздел 13

Какво трябва да знаеш за този урок

Какво ще научиш в този урок

Преговор: Умножение на двучлени

Разлагане на тричлени

Пример 1: Разлагане на x2+5x+6‍

Провери знанията си

Пример 2: Разлагане на x2−5x+6‍

Пример 3: Разлагане на x2−x−6‍

Обобщение

Провери знанията си

Защо това върши работа?

Метод на разлагане чрез произведение на сборове

Въпрос за размисъл

Кога можем да използваме този метод, за да разлагаме?

Задачи с повишена трудност

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Пример 1: Разлагане на $x^{2} + 5 x + 6$ ‍

Пример 2: Разлагане на $x^{2} - 5 x + 6$ ‍

Пример 3: Разлагане на $x^{2} - x - 6$ ‍