Основно съдържание

Курс: Алгебра 2 > Раздел 2

Урок 2: Въведение в комплексни числа

Въведение към комплексните числа

Научи какво представляват комплексните числа и за техните реални и имагинерни части.

В множеството на реалните числа няма решение на уравнението

x^{2} = - 1

. В този урок ще се запознаем с ново числово множество, в което уравнението има решение.

Основният елемент в това ново множество от числа е числото

i

, наричано още имагинерна единица.

$i^{2} = - 1$ ‍
$\sqrt{- 1} = i$ ‍

Като използваме кратни на имагинерната единица, можем да създадем безкрайно много нови числа, например

3 i

i \sqrt{5}

- 12 i

. Това са примери за имагинерни числа.

Освен това можем да отидем още по-далеч и да събираме реални числа и имагинерни числа, например

2 + 7 i

3 - \sqrt{2} i

. Тези комбинации се наричат комплексни числа.

Дефиниране на комплексни числа

Комплексно число е всяко число, което може да бъде написано като

a + b i

, където

i

е имагинерната единица, а

a

b

са реални числа.

\begin{array}{ccc} a & + & b i \\ ↑ & ↑ \\ Реална & Имагинерна \\ част & част \end{array}

a

се нарича $реална$ ‍ част на комплексното число, а

b

се нарича $имагинерна$ ‍ част на комплексното число.

Таблицата по-долу показва примери за комплексни числа с идентифицирани реални и имагинерни части. На някои хора им е по-лесно да идентифицират реалните и имагинерните части, ако числото е записано в стандартен вид.

Комплексно число	Стандартен вид $a + b i$ ‍	Описание на частите
$7 i - 2$ ‍	$- 2 + 7 i$ ‍	Реалната част е $- 2$ ‍, а имагинерната част е $7$ ‍.
$4 - 3 i$ ‍	$4 + (- 3) i$ ‍	Реалната част е $4$ ‍, а имагинерната част е $- 3$ ‍
$9 i$ ‍	$0 + 9 i$ ‍	Реалната част е $0$ ‍, а имагинерната част е $9$ ‍
$- 2$ ‍	$- 2 + 0 i$ ‍	Реалната част е $- 2$ ‍, а имагинерната част е $0$ ‍

Провери знанията си

Задача 1

Каква е реалната част на $13, 2 i + 1$ ‍?

Задача 2

Каква е имагинерната част на $21 - 14 i$ ‍?

Задача 3

Каква е реалната част на $17 i$ ‍?

Класифициране на комплексните числа

Знаем какво представлява реално число, а сега дефинирахме какво е комплексно число. Сега да се върнем и да дадем подходящо определение за имагинерно число.

Имагинерно число е комплексно число $a+bi$ ‍, за което $a=0$ ‍.

По същата логика можем да кажем, че реално число е комплексно число $a+bi$ ‍, за което $b=0$ ‍.

От първото определение можем да заключим, че всяко имагинерно число е също така и комплексно число. От второто определение можем да заключим, че всяко реално число е също така и комплексно число.

В допълнение, съществуват комплексни числа, които не са нито реални, нито имагинерни, например

4 + 2 i

\begin{matrix} Комплексни числа \\ \begin{array}{lcr} 4 + 2 i & - 3 - \sqrt{5} i \end{array} \\ \begin{matrix} Реални числа \\ \begin{array}{lcr} \sqrt{5} & - 12, 2 & 3 \end{array} \end{matrix} \\ \begin{matrix} Имагинерни числа \\ \begin{array}{lcr} \sqrt{5} i & - 12, 2 i & 3 i \end{array} \end{matrix} \end{matrix}

Числото нула е комплексно число

0 + 0 i

Да, то е комплексно число.

То също така е комплексно число, чиято реална част е нула, което означава, че е имагинерно число.

То също така е комплексно число, чиято имагинерна част е нула, което означава, че е реално число.

В заключение: числото нула е едновременно реално, имагинерно и комплексно число!

Въпрос за размисъл

Вярно или грешно е следното твърдение?

Всяко комплексно число е или реално, или имагинерно.

Примери

В таблицата по-долу класифицирахме няколко числа като реални, имагинерни и/или комплексни.

	$\begin{aligned} Реални \\ (b = 0) \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} Имагинерни \\ (a = 0) \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} Комплексни \\ (a + b i) \end{aligned}$ ‍
$\begin{aligned} 7 + 8 i \\ (7 + 8 i) \end{aligned}$ ‍			X
$\begin{aligned} \sqrt{3} \\ (\sqrt{3} + 0 i) \end{aligned}$ ‍	X		X
$\begin{aligned} 1 \\ (1 + 0 i) \end{aligned}$ ‍	X		X
$\begin{aligned} - 1, 3 i \\ (0 + (- 1, 3) i) \end{aligned}$ ‍		X	X
$\begin{aligned} 100 i \\ (0 + 100 i) \end{aligned}$ ‍		X	X

Забележи, че в таблицата всички изброени числа са комплексни числа! Това е вярно по принцип!

Сега опитай ти!

Задача 4

Какъв вид число е $- 2 + 3 i$ ‍?

Задача 5

Какъв вид число е $10, 2$ ‍?

Задача 6

Какъв вид число е $- 17 i$ ‍?

Защо са важни тези числа?

Защо изучаваме комплексните числа? Вярваш или не, комплексните числа имат много приложения – например в електротехниката и квантовата механика!

От чисто математическа гледна точка, едно готино нещо, което комплексните неща ни позволяват да правим, е да решим всяко полиномно уравнение.

Например полиномното уравнение

x^{2} - 2 x + 5 = 0

няма нито реални решения, нито имагинерни решения. Но то има две решения с комплексни числа. Това са

1 + 2 i

1 - 2 i

Като продължим да изучаваме математика ще научим повече за тези числа и къде биват използвани.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.