Класифициране на комплексните числа

След като вече познаваме имагинерната единица i, нека се упражним в опростяване на изрази с нейно участие като този тук. 2 + 3i + 7i^2 + 5i^3 + 9i^4. Приканвам те да оставиш видеото на пауза и да се опиташ да опростиш израза самостоятелно. Както виждаш, тук имаме различни степени на i. Това може да се разглежда като i на първа степен. Тук имаме i на втора степен. Вече знаем, че i на квадрат по определение е равно на –1. После имаме i на трета степен. Това е равно на i по i^2, или на –i. Вече видяхме това, когато въведохме понятието за имагинерно число, но ще го направя пак. i на четвърта степен е i по третата степен горе, което е равно на –i по i. Това е i на трета степен, умножено по i. Знаем, че i по i е –1. Тук имаме –1 по –1, което е равно на 1. Можем да представим целия този израз като 2 + 3i + 7 по i^2, заместваме с –1, тук е 7 по –1, значи минус 7, после имаме 5 по i на трета степен, i на трета е –i, тук заместваме с –i, това става минус 5i Накрая това i на четвърта степен е просто 1, значи това се опростява до 9i. Как да опростим израза още? Имаме няколко събираеми, които не са имагинерни. Те са реални числа. Например имаме реалното число 2. Минус 7 е реално число. Също и 9 е реално число. Можем просто да ги съберем. 2 + (–7) = –5, –5 + 9 = 4, сборът на реалните числа е 4. Остават ни тези имагинерни числа. 3 по i минус 5 по i, ако имаме 3 по нещо и извадим от него 5 по същото нещо, ще получим –2 по това нещо. Друг начин на разсъждение е да използваме коефициентите. 3 – 5 е равно на –2. Значи 3i минус 5i е равно на –2i. Може да попиташ дали има още накъде да опростим? Всъщност няма как. Това тук е реално число, числото 4 е познат тип число, с каквито сме свикнали да работим досега. Докато –2i е имагинерно число. Тук приемаме 4 – 2i, целия този израз, като нов тип число. Това число има реална част и имагинерна част. Числата от такъв тип наричаме комплексни числа. Това е комплексно число. Защо комплексно? Защото е съставено от реална и имагинерна част. Може да попиташ дали всяко реално число не може да се приеме за комплексно? Например реалното число 3, не мога ли да го представя като 3 + 0i? Въпросът ти е правилен. Всяко реално число е също и комплексно число. Можеш да разглеждаш това като комплексно число. Всъщност множеството на реалните числа е подмножество на комплексните числа. По същия начин имагинерните числа са подмножество на комплексните. Например можеш да представиш i като 0 + i, където 0 е реалната част. Имагинерните числа са подмножество на комплексните. Реалните числа също са подмножество на комплексните. Множеството на комплексните числа освен тях съдържа и всички възможни техни сборове и разлики, или всички числа, които имат както реална, така и имагинерна част.