Графично решаване на уравнения: въведение

Дадена е графиката на функцията у равно на 3/2 на степен х. Това е ето тази графика. С помощта на графиката трябва да намерим приблизително решение на уравнението 3/2 на степен х равно на 5. Постави видеото на пауза и опитай самостоятелно, преди да решим примера заедно. Добре, да се заемем със задачата. Дали са ни подсказка как можем да я решим. Дадена ни е графиката на у равно на 3/2 на степен х. Това е тази графика ето тук. Това ни подсказва, особено понеже се иска да намерим приблизително решение, може би ще можем да решим това уравнение или да апроксимираме графично решението на това уравнение. Начинът, по който можем да направим това, е да разглеждаме като функция всяка страна на уравнението. Можем да напишем у равно на всяка от страните на уравнението. Когато кажем, че у е равно на лявата страна, получаваме у равно на 3/2 на степен х. което е точно уравнението чиято графика ни е дадена. Когато приравним у на дясната страна, получаваме у равно на 5. Можем да начертаем графиката на тази функция. Интересното тук е, че ако намерим стойност на х, която ни дава същата стойност на у, или и двете тези уравнения, това означава, че графиките се пресичат там. Ако имам същата стойност на у за тази стойност на х, и за двете уравнения, тогава това означава, че 3/2 на степен х е равно на 5. Можем да видим къде се пресичат графиките и да получим приблизителна представа коя е тази стойност на х. Виждаме, поне ето тук, че х е приблизително 4. Значи х е приблизително равно на 4. Ако искаме – това е отговорът, тази точка. Ако искаме, можем да направим проверка. Можем да се запитаме дали това наистина е отговорът. Дали наистина 3/2 на 4-а степен е равно на 5? Да видим, 3 на четвърта степен е 81. 2 на четвърта степен е 16. Това е доста близко до 5. 16 по 5 е 80. Този отговор не е точен, но е много близо до търсената стойност. Ако имаш графичен калкулатор, можеш да увеличиш мащаба и да получиш стойност... да видиш дали х е наистина малко по-различно от х = 4. Да решим друг пример. Тук ключовото е, че апроксимираме решенията на уравненията чрез графиките им. Тук е дадена графиката на у равно на – имаме полином от трета степен, ето този тук. С помощта на графиката трябва да се отговори на следните въпроси: Колко решения има уравнението х^3 – 2х^2 – х + 1 = –1/2 Постави видеото на пауза и опитай да отговориш. Когато търсим решения на това уравнение, можем да си представим, че имаме две функции, едната е у = х^3 – 2х^2 – х + 1, чиято графика е дадена в условието. Нека да кажем, че другото уравнение или другата функция е у = –1. Колко пъти се пресичат тези две графики? Това ще ни покаже колко корени има. Това е у = –1. Всеки път, когато двете графики се пресичат, това означава, че имаме решение на оригиналното уравнение. Те се пресичат веднъж, два пъти, три пъти. Значи има три решения. Какво да кажем за втория случай? Колко решения има уравнението целият този израз, равен на 1/2? Същата логика, можем да кажем, че у = х^3 – 2х^2 – х + 1. После да видим другата функция, ако у = 2? у = 2 е тази права ето тук. Виждаме, че графиката пресича само веднъж графиката на тази функция тук. Значи ще има само едно решение. Ключовото тук е – просто ще го запиша – това е снимка от екрана от упражнението в Кан Академия, където трябва да запишеш "едно", или в предишния пример трябваше да напишеш "четири". Това са примери, в които можеш да разгледаш едно уравнение, което съдържа една променлива, като приравниш двете му страни всяка поотделно да е равна на у, после построяваш графиките, а след това търсиш къде се пресичат тези графики, тъй като стойностите на х в тези пресечни точки са решения на първоначалното уравение. Графичният метод е удобен начин за апроксимиране на решенията, особено ако разполагаш с графичен калкулатор или инструмент като Desmos.