Графично решаване на уравнения: текстови задачи

В задачата се иска да изследваме нарастването на бактериална култура, като учените измерват площта в квадратни милимитри, площта, която е заета от изследваната култура. Растежът на културата може да се моделира с функцията f(t) равно на 24 по е на степен 0,4 по t, като t е броят на часовете от началото на експеримента. Дадена е графиката на f. Предполагам, че f е... че изходните стойности на нашата функция ще са квадратни милиметри след t часа, нали? Ето това тук е графиката ѝ. Виждаме, че с течение на времето квадратните милиметри на нашата бактериална култура нарастват много очевидно. Изглежда, че растежът е експоненциален. Всъщност, ние знаем, че това е експоненциален растеж, защото това е показателна функция ето тук. В задачата ни питат кога културата ще достигне площ от 400 квадратни милиметра. Постави видеото на пауза и опитай да отговориш. Добре, това е снимка от екрана от упражнението в Кан Академия и ни питат кога културата ще достигне площ от 400 кв. мм. Да видим. 400 кв.мм. е ето тук което изглежда след 7 часа, тогава ще покрие площ 400 кв.мм. или повече. Значи след 7 часа – това е отговорът. Сега да видим следващите няколко примера, които надграждат това. Ако се върнем тук горе, сега ни казват същото нещо – че се използват квадратни милиметри, когато се измерва растежа. Това е функцията, но после те добавят и тази права. Това е графиката на f, и графиката на правата у равно на 600. Добавена е тази права ето тук, и после ни питат кое твърдение обяснява значението на пресечната точка на двете графики. Добре, да видим предложените варианти. Трябва да изберем всички отговори, които са верни. Постави видеото на пауза и опитай да решиш това самостоятелно. Добре, вариант А казва, че пресечната точка описва момента, когато бактериалната култура ще покрие 600 квадратни милиметра. Кое твърдение обяснява същността на пресечната точка на графиките? Това се отнася за тази точка ето тук. Това описва ли момента, в който бактериалната култура покрива 600 квадратни милиметри? Това е моментът, в който културата достига 600 кв.мм., защото това е правата, която съответства на 600 кв.мм. Този отговор ми харесва, ще го маркирам. Следващият вариант: "Това е решението на уравнението 24 по е на степен 0,4 по t равно на 600." Ако помислиш за това, тази крива тук в синьо, за която вече говорихме, това е графиката на у равно на 24 по е на степен 0,4 по t. Червената права е у равно на 600, така че стойността на t, за която двете графики имат еднаква стойност, означава, че те и двете имат една и съща стойност за у. Друг начин да си представим това е, че то означава, че това е равно на това, или че 24 по е на степен 0,4 по t е равно на 600. Този отговор също ми харесва. Това е стойността, за която това равенство е изпълнено, така че това е решението на това уравнение. "Описва ситуацията, в която площта на културата е равна на броя на часовете." Това определено не е вярно, защото площта тук е 600 кв.мм. Часовете изглежда са малко над 8, така че определено не са равни. "Описва площта на културата след 600 часа." Дори не трябва да гледаме графиката. Оста t не достига до 600 часа, така че изключваме и този отговор. Сега да продължим нататък към следващата част на упражнението, в която се казва... още веднъж – измерваме площта в квадратни милиметри, за да измерим нарастването на бактериалната култура. Растежът е ето тук. Тук имаме две култури. Казва се, че растежът на културата А може да се моделира с f(t) равно на този израз. Вече видяхме това, но сега разглеждаме още една култура. Растежът на културата В може да се моделира с g(t) равно на този израз, като t е броят на часовете от началото на експеримента. Значи това са графиките на функциите f и g. Сега имаме две култури. И двете растат експоненциално, но с различна скорост. В задачата се търси в кой момент двете култури заемат еднаква площ. Трябва да закръглим отговора си до най-близкото цяло число. Можеш да поставиш видеото на пауза и да помислиш върху това, ако искаш. Виждаш много добре, че двете криви се пресичат ето тук. Значи това е точката, в която двете култури заемат еднаква площ. Изглежда, че тя е около 175 кв.мм., но в задачата не се търси площта. Питат ни кога се случва това. Изглежда, че това се случва след около 5 часа. Закръгляваме до най-близкото цяло число и това е 5. Сега да видим последната част от задачата. Същите условия, но сега ни задават различен въпрос. Питат ни кое твърдение описва същността на пресечните точки на графиките. Да видим, в отговор А се казва – постави отново видеото на пауза и опитай да отговориш самостоятелно. Добре, отговор А казва, че пресечната точка означава, че и двете култури покриват площ от 180 кв.мм. в един и същ момент. Да проверим това. Това изглежда правилно. Ние изчислихме 175, но можем да го закръглим на 180. Изглежда, че това се случва приблизително около 5-ия час. Изглежда, че двете култури покриват еднаква площ приблизително в този момент, така че този отговор ми харесва. "Пресечната точка означава, че в началото на експеримента културата А е по-голяма от културата В." Пресечната точка не ни казва коя култура е по-голяма в началото на експеримента. Можем да опитаме да отговорим, като разгледаме кривите в момента t = 0. Когато времето t е равно на 0 – културата А е синята крива, това е f. Изглежда, че културата А е по-голяма от културата В в момента t = 0, т.е. в самото начало. Но пресечната точка на двете криви не ни казва това. Те не ни питат кои твърдения са верни. Питат ни кои твърдения описват какво представлява пресечната точка на двете графики. Пресечната точка не ни казва нищо за началната ситуация. Тя представлява решение на уравнението 24 по е на степен 0,4 по t равно на 9 по е на степен 0,6 по t. Добре, ние вече обсъдихме това в предишния пример, когато имахме само една крива, и случаят е точно такъв, защото у е равно на 24 по е на степен 0,4 по t, което е кривата за културата А, а после у е равно на 9 по е на степен 0,6 по t, което е кривата за културата В. Значи точката, в която тези две криви се пресичат, това е точката, в която стойността на t, за която получаваме равенство, е една и съща за двете криви, или стойността на у за този израз е същата като за този израз. Друг начин да формулираме това е, че това е тази стойност на t, за която този израз е равен на този израз. Значи това представлява решение на уравнението. И последният вариант: "Пресечната точка представлява решение на уравнението 24 по е на степен 0,4 по t равно на 0." Не, това не е така, ако искаме да знаем кога този израз е равен на 0, трябва да гледаме в коя точка от кривата у е равно на 0 – ще използвам различен цвят – това е ето тук, трябва да видим къде пресича кривата на f, което е равно на 24 по е на степен 0,4 по t равно на 0 Точката на пресичане на двете графики не показва това, така че определено изключваме и този отговор.