Въведение към деление на многочлени

В това видео ние ще се научим да делим многочлени и понякога това се нарича алгебрично писмено делене. Но ще видиш за какво говоря, когато направим няколко примера. Да речем, че просто искам да разделя 2x плюс 4 и да го разделя на 2. Ние наистина не променяме стойността. Ние просто сменяме начина, по който ще изразим стойността. И така, вече знаем как да опростим това. Правили сме това преди. Бихме могли да разделим числителя и знаменателя на 2 и после това ще бъде равно на какво? Това ще бъде равно на x плюс 2, нека го напиша по този начин: то ще бъде равно на... ако разделиш това на 2, то става х. Разделяш 4 на 2, това става 2. Ако разделиш 2 на 2, получаваш 1. Така че това е равно на x + 2, коeто е доста просто, мисля. Другият начин е, че тук можеш да изнесеш 2 отвън и след това тези ще се съкратят. Но аз ще ти покажа също как да го правиш, използвайки алгебрично писмено делене, което е малко прекалено за тази задача. Но аз просто искам да ти покажа, че това по принцип не е нищо ново. Това е просто различен начин за правене на нещата, но е полезен за по-сложни задачи. Така че може също да напишеш това като 2 се съдържа в 2x плюс 4 колко пъти? И ще направиш това по същия начин, по който се прави традиционно писмено делене. Би казал 2 - винаги започваш с члена с най-високата степен. 2 се съдържа в члена с най-високата степен. Можеш да игнорираш 4. 2 се съдържа в 2x колко пъти? То се съдържа в 2x x пъти и поставяш хиксът на мястото на x. x по 2 е 2x. И точно като при традиционното писмено делене сега изваждаш. Сега изваждаш. Така че 2x плюс 4 минус 2x е колко? Това е 4, нали? И след това колко пъти се съдържа 2 в 4? То се съдържа в него два пъти, два положителни пъти. Слагаме това на мястото на константата. 2 по 2 е 4. Изваждаш, остатък 0. Това може да изглежда сложно, специално за тази задача, ти вече знаеше как да я направиш и я направи в няколко стъпки. Сега ще видим, че това е много общ процес. Можеш да направиш това наистина за полином от всяка степен, разделен на полином на каквато и да е друга степен. Нека ти покажа за какво говоря. Нека кажем, че искам да разделя на х плюс 1 х^2 + 3x + 6. И така, какво ще направим тук? Търсиш члена с най-висока степен тук, който е x и търсиш члена с най-висока степен тук, който е х на квадрат. Можеш да игнорираш всичко останало. И това наистина опростява процеса. Казваш, че x се съдържа в х на квадрат колко пъти? x на квадрат, делено на х е само х, нали? х се съдържа в х на квадрат x пъти. Слагаш го на мястото на х. Това тук е х мястото или мястото на х на първа степен. И така, х по x плюс 1 е колко? x по х е х на квадрат. x по 1 е x, така че това е х на квадрат плюс х. И точно както направихме тук, сега изваждаме. И какво ще получим? х на квадрат плюс 3x, плюс 6, минус x на квадрат - нека да бъда много внимателен - това е минус x на квадрат плюс x. Искам да се уверя само, че отрицателния знак - че се отнася за цялото това нещо. И така, x на квадрат минус x на квадрат, тези се съкращават. 3x, това ще бъде минус x. Нека сложа този знак там. И така, това е минус x на квадрат, минус x, просто за да съм ясен. Изваждаме цялото нещо. 3x минус x е 2x. И след това сваляш долу 6 или 6 минус 0 не е нищо. Така че 2x плюс 6. Сега, гледаш члена с най- високата степен, х и 2х. Колко пъти x се съдържа в 2x? То се съдържа в него два пъти. 2 по х е 2x. 2 по 1 е 2. 2 по 1 е 2. Така че получаваме 2 по x, плюс 1 е 2x плюс 2. Но ние ще искаме да извадим това от това тук, така че ще го извадим. Вместо да пишем 2x плюс 2, можем да напишем просто минус 2x минус 2 и след това да ги съберем. Тези приятели се унищожават. 6 минус 2 е 4. И колко пъти x се съдържа в 4? Бихме могли просто да кажем нула пъти или може да кажем, че това 4 е остатъкът. 4 е остатъкът. Така че, ако искахме да преработим x на квадрат плюс 3x плюс 6 върху x плюс 1, забележи, това е същото нещо, като x на квадрат плюс 3x плюс 6, делено на х плюс 1, това нещо, делено на това, сега можем да кажем, че това е равно на х плюс 2. То е равно на x плюс 2 плюс остатъка, делено на х плюс 1, плюс 4 върху x плюс 1. Това тук и това тук са еквивалентни. И ако искаш да провериш това, ако искаш да получиш от това обратно това, това което може да направиш, е да умножиш това по х плюс 1 върху x плюс 1 и да ги съберем двете. Така че това е същото нещо като х плюс 2. И просто ще умножа това по x плюс 1 върху x плюс 1. Това е просто умножаването му с 1. И след това към това, добавяме 4 върху х плюс 1. Направих това, за да имам общ знаменател. И когато правиш това събиране тук, когато умножиш тези два бинома и след това добавиш 4 тук, би трябвало да получиш х на квадрат плюс 3х плюс 6. Нека направим още една задача. В известна степен са забавни. И така, нека имаме, искаме да опростим x на квадрат плюс 5x, плюс 4 върху x плюс 4. Още веднъж, можем да направим нашето писмено алгебрично делене. Можем да разделим x плюс 4 се съдържа в x на квадрат плюс 5x плюс 4. И отново, точно същия процес. Търсиш членовете с най-високата степен при двата от тях. х се съдържа в x на квадрат колко пъти? То се съдържа в него х пъти. Слагаш го на мястото на х. Това тук е нашето място х. х по x е x на квадрат. x по 4 е 4x. И след това, разбира се, ние ще искаме да извадим тези от там. Така че нека просто сложа отрицателен знак там. И след това тези се съкращават. 5x минус 4x е х. 4 минус 0 е плюс 4. x плюс 4 и след това дори може би виждаш какво следва. Може да кажеш, че х плюс 4 се съдържа в х плюс 4 очевидно един път или ако не гледаш постоянните членове, може съвсем просто да кажеш: добре, х се съдържа в x колко пъти? Ами един път. Плюс 1. 1 по х е х. 1 по 4 е 4. Ние ще ги извадим от тук, така че това се съкращава, така че нямаме никакъв остатък. Това тук се опростява до... това е равно на x плюс 1. И има други начини да направиш това. Можехме да опитаме да разложим този числител. х на квадрат плюс 5x плюс 4 върху x плюс 4. Това е същото нещо като какво? Можехме да разложим този числител като х плюс 4 по x плюс 1. 4 по 1 е 4. 4 плюс 1 е 5, всичкото това върху х плюс 4. Тези се унищожават и оставаме само с х плюс 1. И двата начина биха станали, но писменото алгебрично делене винаги ще става, дори ако не можеш да съкратиш множители като този, дори ако има остатък. В тази ситуация няма. Така че това беше равно на x плюс 1. Нека направим още една задача, просто за да сме сигурни, че наистина - защото това в действителност е много, много полезно умение, което да имаш във твоя инструментариум. И така, нека кажем, че имаме х на квадрат - нека ще го променя. Нека кажем, че имаме 2x на квадрат - аз наистина бих могъл да измисля тези числа в движение. 2x на квадрат минус 20x плюс 12, делено на - всъщност, нека го направим наистина интересно, само за да ти покажа, че винаги се получава. Искам да отида по-нагоре от квадрата. Така че нека да кажем, имаме 3x на трета минус 2x квадрат плюс 7x минус 4 и искаме да разделим това на x квадрат плюс 1. Аз току-що измислих това. Но ние можем просто да направим писменото алгебрично делене, за да намерим колко ще бъде това или колко ще бъде опростено това. х на квадрат плюс 1, делящо това нещо тук, 3x на трета минус 2x на квадрат, плюс 7х минус 4. Още веднъж, търсим члена с най-високата степен. Колко пъти се съдържа х на квадрат в 3x на трета? То ще се съдържа в него 3х пъти. Умножаваш 3х по това, получаваш 3x на трета. Така че то ще се съдържа в него 3х пъти. Така че трябва да напишеш 3x тук при х членовете. То ще се съдържа в него 3х пъти, ето така. Сега нека да умножим. 3х по х на квадрат е 3x на трета, нали? 3x по х на квадрат, плюс 3x по 1. Така че, имаме 3x тук. Уверявам се, че го слагам на х мястото. И ще искаме да ги извадим. И какво имаме? Какво получаваме, когато направим това? Тези се анулират. Имаме минус 2x на квадрат. И след това 7x минус - защото аз току-що извадих 0 от там - 7x минус 3x е плюс 4x и имаме минус 4. Още веднъж, търсиш члена с най-високата степен. х на квадрат и минус 2x на квадрат. И така, x на квадрат се съдържа в минус 2х на квадрат минус 2 пъти. Минус 2, слагаме го на мястото на константите. Минус 2 по х на квадрат е минус 2x на квадрат. Минус 2 по 1 е минус 2. Минус 2. Сега ще искаме да извадим тези от тук, така че нека ги умножим по минус 1 или тези стават положителни. Тези две момчета се анулират. 4х минус 0 е - нека сменя цветовете - 4х минус 0 е 4x. -4 минус -2 или -4 плюс 2 е равно на минус 2. И след това x на квадрат, сега има по-висока степен, отколкото 4x и е най-високата степен тук, така че разглеждаме това като остатъка. Приемаме това за остатъка. Така че бихме могли да напишем този израз като равен на 3x минус 2, това е 3x минус 2, плюс нашия остатък 4х минус 2, всичкото това върху х на квадрат плюс 1. х на квадрат плюс 1. Надявам се, че намираш това за толкова забавно, колкото и аз.