Основно съдържание

Курс: Алгебра 2 > Раздел 5

Урок 2: Положителни и отрицателни интервали на многочлени

Положителни и отрицателни интервали на полиноми

Научи за връзката между нулите на полиномите и интервалите, в рамките на които, те са положителни или отрицателни.

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Нулите на полинома

f

отговарят на пресечните точки на графиката на

y = f (x)

и оста

x

Дадено е

f (x) = (x + 3) (x - 1)^{2}

. Тъй като нулите на функцията

f

са

- 3

1

, графиката на

y = f (x)

ще пресича оста

x

в точките

(- 3; 0)

(1; 0)

Ако това е ново за теб, препоръчваме да погледнеш нашата статия за нули на полиноми.

Какво ще научиш в този урок

Макар пресечните точки с оста

x

да са важна характеристика на графиката на една функция, имаме нужда от повече, за да направим добър чертеж.

Да знаем знака на една полиномна функция между две нули може да ни помогне да запълним някои пропуски.

В тази статия ще научим как да определим интервалите, в които един полином е положителен или отрицателен, и как да свържем това с графиката.

Интервали с положителни и отрицателни стойности на функцията

Знакът на един полином между всеки две последователни нули е или винаги положителен, или винаги отрицателен.

Това е така, понеже полиномните функции са непрекъснати функции (няма прекъсвания в графиката), което означава, че единственият начин да се промени знакът, е графиката да пресече оста

x

. Но ако това се случи, дадените нули няма да бъдат последователни!

Например помисли върху графиката на функцията

f (x) = (x + 1) (x - 1) (x - 3)

От графиката виждаме, че

f (x)

е винаги...

...отрицателна, когато $- \infty < x < - 1$ ‍.
...положителна, когато $- 1 < x < 1$ ‍.
...отрицателна, когато $1 < x < 3$ ‍.
...положителна, когато $3 < x < \infty$ ‍.

Не е задължително една полиномна функция да променя знака си между нулите.

Например, разгледай графиката на функцията

g (x) = x (x + 2)^{2}

От графиката виждаме, че

g (x)

е винаги...

...отрицателна, когато $- \infty < x < - 2$ ‍.
...отрицателна, когато $- 2 < x < 0$ ‍.
...положителна, когато $0 < x < \infty$ ‍.

Забележи, че

g (x)

не променя знака си около

x = - 2

Определяне на интервалите, в които стойностите на полинома са положителни или отрицателни

Нека намерим интервалите, в които полиномът

f (x) = (x + 3) (x - 1)^{2}

е положителен, и интервалите, в които е отрицателен.

Нулите на

f

са

- 3

1

. Това създава три интервала, в които знакът на

f

не се променя:

Нека намерим знака на

f

в интервала

- \infty < x < - 3

Знаем, че

f

ще е или винаги положителна, или винаги отрицателна в този интервал. Можем да определим кое от двете е като пресметнем

f

за една стойност в този интервал. След като

- 4

е в този интервал, нека намерим

f (- 4)

Понеже ни интересува само знака на полинома, не е нужно напълно да го изчисляваме:

\begin{aligned} f (x) & = (x + 3) (x - 1)^{2} \\ f (- 4) & = (- 4 + 3) (- 4 - 1)^{2} \\ = (-) (-)^{2} & Определяме само знака на отговора. \\ = (-) (+) & Минус на квадрат дава плюс. \\ = - & Минус по плюс дава минус. \end{aligned}

Тук виждаме, че

f (- 4)

е отрицателно, така че

f (x)

винаги ще бъде отрицателна в интервала

- \infty < x < - 3

Можем да повторим процеса за останалите интервали.

Интервал: $- 3 < x < 1$ ‍

След като

0

е в този интервал, нека намерим знака на

f (0)

$\begin{aligned} f (x) & = (x + 3) (x - 1)^{2} \\ f (0) & = (0 + 3) (0 - 1)^{2} \\ = (+) (-)^{2} & Изчисли само знака на отговора. \\ = (+) (+) & Отрицателен знак на квадрат е положителен знак. \\ = + & Положителен знак по положителен знак е положителен. \end{aligned}$ ‍

Понеже стойността на

f (0)

е положителна, стойностите на

f (x)

ще са положителни в интервала

- 3 < x < 1

Интервал: $1 < x < \infty$ ‍

Тъй като

2

е в този интервал, нека намерим знака на

f (2)

$\begin{aligned} f (x) & = (x + 3) (x - 1)^{2} \\ f (2) & = (2 + 3) (2 - 1)^{2} \\ = (+) (+)^{2} & Изчисли само знака на отговора. \\ = (+) (+) & Положителен знак на квадрат е положителен знак \\ = + & Положителен знак по положителен знак е положителен знак.. \end{aligned}$ ‍

Понеже стойността

f (2)

е положителна, стойностите на

f (x)

ще са положителни в интервала

1 < x < \infty

Резултатите са обобщени в таблицата по-долу.

Интервал	Стойността на конкретна стойност на $f (x)$ ‍ в интервала	Знак на $f$ ‍ в интервала	Връзка с графиката на $f$ ‍
$- \infty < x < - 3$ ‍	$f (- 4) < 0$ ‍	отрицателен	Под $x$ ‍-оста
$- 3 < x < 1$ ‍	$f (0) >$ ‍	положителен	Над $x$ ‍-оста $1 < x < \infty$ ‍	$f (2) > 0$ ‍	положителен	Над $x$ ‍-оста

Това съответства на графиката на

y = f (x)

Провери знанията си

g (x) = (x + 1)^{2} (x + 6)

има нули за

x = - 6

x = - 1

Какъв е знакът на функцията $g$ ‍ в интервала $- 6 < x < - 1$ ‍?

(Избор А)
$g (x)$ ‍ е винаги положителна в интервала $- 6 < x < - 1$ ‍.
(Избор Б)
$g (x)$ ‍ е винаги отрицателна в интервала $- 6 < x < - 1$ ‍.
(Избор В)
$g (x)$ ‍ е и положителна, и отрицателна в интервала $- 6 < x < - 1$ ‍.

h (x) = (3 - x) (x + 5) (x - 2)

има нули в

x = - 5

x = 2

x = 3

Какъв е знакът на функцията $h (x)$ ‍ в интервала $- 5 < x < 2$ ‍?

(Избор А)
$h (x)$ ‍ е винаги положителна в интервала $- 5 < x < 2$ ‍.
(Избор Б)
$h (x)$ ‍ е винаги отрицателна в интервала $- 5 < x < 2$ ‍.
(Избор В)
$h (x)$ ‍ е и положителна, и отрицателна в интервала $- 5 < x < 2$ ‍.

Задача с повишена трудност

3*) Кое от следните може да бъде графиката на $g (x) = (x - 2)^{2} (x + 1)^{3}$ ‍?

Определяне на интервалите с положителни и отрицателни стойности от скицираната графика

Друг начин да определим интервалите, в които един полином е положителен или отрицателен, е да начертаем графиката му и да разгледаме поведението в краищата на интервала и кратността на нулите му.

Виж статията за графики на полиноми за допълнителна информация.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.