Нули на многочлени (кратност)

Хайде да решим този пример заедно. Виждаме, че всички предложени отговори представляват полиноми (многочлени) в разложен вид. Разложеният вид е полезен, когато търсим корените на един многочлен. Това са стойностите на х, за които многочленът е равен на нула. Кои са корените е очевидно, когато разгледаме дадената графика. Единият корен е х = –4, другите са х = –1,5 или –3/2 и х = 1. Трябва просто да се запитаме: "Кои от тези множители съответстват на корените, които виждаме?" Да разгледаме корените един по един. Тук отляво имаме корен х = –4. За да стане нула този многочлен, когато х = –4, това означава, че (х + 4) трябва да има такъв множител, или някаква константа по (х + 4), търсим такъв множител в многочлена. В предложените отговори виждаме много множители (х + 4), но те са повдигнати на различни степени. В първия случай имаме степен 2, т.е. е на квадрат, докато в другите случаи този множител е на първа степен. Както вече сме казвали в други видео уроци, когато разглеждаме кратността, казваме: "Ако има промяна на знака при един корен, както виждаме ето тук, при –4, това означава, че имаме нечетна степенен показател на съответния множител. Но ако няма промяна на знака, както виждаме тук при другите корени, това означава, че имаме четна степен. Ясно виждаме смяната на знака, така че можем да очакваме нечетна степен, и, разбира се, 1 е нечетно, а 2 не е. Така че, ако имаме директно (х + 4), тогава ще имаме смяна на знака при х = –4. Мога да изключа този отговор, но другите три варианта все още изглеждат вероятни въз основа на множителя (х + 4). Сега да видим другия множител ето тук, или другия корен. Следващият корен е х = –3/2, значи можем да разглеждаме, че трябва да имаме множител от вида (х + 3/2) или това, умножено по някаква константа. Когато разглеждаме оставащите варианти, не виждаме (х + 3/2), но виждаме нещо, което включва 2 и 3, така че можем да си кажем: "Ако умножим това по константата 2, тогава ще получим (2х + 3)", което виждаме ето тук, а после следващият въпрос е: "На каква степен е?" Тук отново имаме смяна на знака при х = –3/2, така че можем да очакваме нечентна степен. В отговорите виждаме, че само в два от тях има първа степен, което е нечетно число, докато в другия отговор имаме четна степен, така че можем да изключим и него. След това разглеждаме последния корен. Ще използвам оранжево. Имаме корен при х = 1, така че можем да очакваме множител (х – 1), или този израз по някаква константа, да бъде един от множителите. Интересното е, че тук нямаме промяна на знака при х = 1, така че очакваме четна степен. В оставащите варианти виждаме (х – 1) и в двата, но само в отговор С има четен степенен показател, както очакваме, така че отговор С изглежда вероятен. Когато разгледаме отговор D, където този член е на първа степен, там можем да очакваме промяна на знака при х = 1, така че в този случай кривата би трябва да продължи да се спуска надолу, приблизително така, затова избираме отговор С. Да решим още един пример. Тук отново ни питат: "Кой израз може да съответства на многочлена р?" Дадена ни е графиката, така че отново ти препоръчвам да поставиш видеото на пауза и да опиташ самостоятелно. Добре, тук използваме същия принцип. Да разгледаме първия корен ето тук. Имаме корен при х = –3, така че ще очакваме множител от вида (х + 3) в израза. Имаме смяна на знака при х = –3, така че ще очакваме нечетна кратност, т.е. нечетна степен на множителя (х + 3). Когато разгледаме всички предложени отговори, С и D съдържат четна степен, така че ако имаме (х + 3) на четвърта степен, тогава тук няма да има смяна на знака, кривата само ще докосне оста х, а после ще се върне, откъдето е дошла. Значи ще изключим тези варианти. Сега да разгледаме втория корен. Ето тук, при х = 2, можем да очакваме, че един от множителите е (х – 2), или негово кратно, защото нямаме смяна на знака при х = 2, графиката само докосва оста х и се връща обратно, откъдето идва, така че тук очакваме четна степен. Когато разгледаме множителите (х – 2), виждаме, че само в единия случай имаме четна степен, така че избирам отговор В и задачата е решена.