Обосноваване, използвайки втората производна: точка на максимум

Известно е, че производната h'(–4) = 0. Какво е подходящото математически обосновано доказателство, че h има локален максимум в точката x = -4? Ето тук е изобразена трафично функцията h. Това е графиката на y = h(x). Първата производна h' не е изобразена графично, но имаме изобразена втората производна h'', която е с оранжев цвят. В задачата ни казват, че h'(–4) = 0, т.е., че първата производна за x = –4 e равна на 0. Действително можеш да видиш, че наклонът (ъгловият коефициент) на допирателната, когато x = –4, е 0. Като разполагаме с тази информация, се изисква да открием какво е математическо обоснованото доказателство за факта, че h има локален максимум за x = –4. Първата възможност e, че втората производна "h''(–4) е отрицателна" в точката x = –4. Какво ни казва това? Ако втората производна е отрицателна, то това означава, че първата производна намалява, което е друг начин да се каже, че се намираме в ситуация, където поне за x = –4 функцията е вдлъбната. Последното означава, че основната част на кривата би изглеждала по този начин около x = –4. Ако наклонът при x = –4 e 0 това ни казва, че наистина там има локален максимум. Ако втората производна в тази точка беше положителна, тогава функцията би била изпъкнала. Ако производната там е равна на 0, бихме казали, че в тази точка има локален минимум. Това действително е вярно. Втората производна е отрицателна при x = –4, което означава, че функцията е вдлъбната. Последното означава, че имаме обърната парабола и точката, в която производната е 0, действително е локален максимум. Това е верният отговор. Готови сме, но нека да обясним и другите възможности. "h нараства преди x = –4." Това действително е вярно. Преди x = –4 функцията нараства, а след това намалява. Това е вярно и това е причина да смятаме, че там следва да има локален максимум, като предположим, че функцията е непрекъсната за x = –4. Това е вярно. Доказателство е за локален максимум, но не е математически обосновано. Следователно може да го изключим. "Втората производна има локален минимум в точката x = –4." Това изглежда, че е вярно. Там има локален минимум, но това не е доказателство, което обяснява защо в точката x = –4 h има локален максимум. Например за x = –4 втората производна h'' може да има локален минимум, но втората производна все пак може да е положителна. Какво означава, ако именно това е случаят с втората производна? Това би могло да е локален минимум, но ако тя беше положителна в тази точка, защото тогава би била изпъкнала. Това означава, че при x = –4 първоначалната функция няма да има локален максимум, а ще има локален минимум. Следователно само локален минимум не е достатъчен. За да твърдим, че функцията има локален максимум, трябва да знаем, че там втората производна е отрицателна. Четвъртият избор е "h'' е изпъкнала". Втората производна наистина изглежда изпъкнала, но това само по себе си не доказва, че първоначалната функция е изпъкнала. Мога да използвам следния пример. Това е възможна втора производна, която е изпъкнала, но има положителни стойности през цялото време. Ако втората производна е положителна през цялото време това означава, че първата производна нараства през цялото време, което означава, че първоначалната функция ще бъде изпъкнала през цялото време. Следователно, ако една функция е изпъкнала през цялото време, тогава няма да има локален максимум в точката x = –4. Ще изключим и този отговор.