Обосновки, използвайки първата производна

"Изобразени са диференцируемата функция f и производната ѝ." Виждаме, че графиката на y = f(x) е със син цвят. А f' е в оранжево ето тук. "Какво е подходящото математическо доказателство за това, че f е намаляваща за x > 3?" Виждаме, че действително случаят е такъв. За x > 3 функцията действително е намаляваща. Когато x нараства, стойността за функцията y намалява За математически обосновано доказателство без дори да разглеждам възможните отговори мога да погледна производната. Тя намалява, когато наклонът на тангентата (ъгловият коефициент) е отрицателен. което означава, че производната е отрицателна. Можем да забележим, че за x > 3 производната f' < 0. Това е доказателството ми, без дори да съм погледнал възможните отговори. Бих отбелязал, че за x > 3, f'(x) < 0. Това е моето доказателство, без дори да разглеждам изброените отговори. Нека сега да ги разгледаме. "f' е намаляваща за x > 3." Това не е вярно. Това, което ни интересува, е дали f' е положителна или отрицателна. Ако f' е отрицателна, т.е. f' < 0, тогава функцията е намаляваща. Наклонът на тангентата ще е отрицателен. f' може да е положителна, дори и да е намаляваща. Например f' може да се държи по следния начин. И дори f' да е намаляваща в този случай, действителната стойност на производната ще е положителна. Това означава, че функцията е нарастваща в този случай, така че изключвам този отговор. "За стойностите на x > 3, когато x нараства, стойностите на f(x) намаляват." Това действително е вярно. Това наистина е определението, че f е намаляваща. Когато стойностите за x нарастват, стойностите за f(x) намаляват. Това обаче не е математическо доказателство. Следователно изключвам и този отговор. "f' е отрицателна, когато x > 3." Това съвпада с написаното от мен тук. Ако f' е отрицателна, това означава, че наклонът на тангентата на първоначалната функция f е с посока надолу. Тоест функцията е намаляваща, така че този отговор изглежда верен. Последният отговор показва, че "f'(0) = -3", така че имат предвид тази точка. Това не се отнася за интервала, който ни интересува, и дори не е релевантно за x > 3. Определено изключваме тази възможност. Нека да решим още една подобна задача. Дадено е "Диференцируемата функция g и производната ѝ g' са изобразени на чертежа." Отново g е със син цвят, а производната ѝ g' е с оранжев. "Какво е подходящото математическо доказателство за факта, че f има локален минимум в точката x = –3?" Тук можем да забележим, че x = –3 g = –6 изглежда е точка, в която има локален минимум. Какво е доказателството за това? Отново, дори и без да гледам възможните избори, мога да кажа, че едно добро доказателство, базирано на математически анализ е, че преди функцията да достигне до x = –3 производната е отрицателна. И след x = –3, производната е положителна. Това е моето доказателство. Ако производната е отрицателна преди тази стойност, това означава, че в този участък наклонът също е отрицателен (надолу). А ако е положителен след тази стойност, означава, че наклонът е положителен (нагоре) след нея. Това е достатъчно доказателство, че в точката x = –3 има локален минимум. Нека да погледнем "Точката, където x = –3, включително и околният ѝ интервал, е най-ниската точка от графиката на g." Това е вярно, но не е математически обосновано доказателство. Дори не е необходимо да погледнеш производната, за да направиш това заключение. Изключвам този отговор. "g' има локален максимум в точката (0; 3)" В точката (0; 3) g действително няма екстремум. О, това е g'! Всъщност g' има локален максимум в точката (0; 3), но това не ни дава информация дали в точката x = –3 има локален минимум, така че изключвам този отговор. "g'(–3) = 0" g'(–3) = 0, така че това ни дава информация, че наклонът на тангентата на функцията ще е 0 в тази точка. Това само обаче не е достатъчно, за да се твърди, че там има локален минимум. Например функцията може да минава през точка, в която наклонът на тангентата също е 0, а след това отново нараства или отново намалява. Следователно дори и да се намира в точка, където наклонът на тангентата е 0, не означава, че има локален минимум. Изключвам този отговор. "g' пресича оста x в посока отдолу нагоре в точка x = –3." g' пресича оста x в посока отдолу нагоре. Това е и твърдението, до което достигнах! Производната започва под оста x и следователно се променя от отрицателна в положителна, което означава, че наклонът на тангентата в точките, които се намират преди x = –3, се променя от спускане към изкачване, което е показател, че в тази точка има локален минимум.