Оптимизация: площ на триъгълник и квадрат (Част 2)

Там, където стигнахме последния път, намерихме израз като функция на х на комбинираното лице, въз основа на направеното разделяне. Сега трябва да намерим къде тук се намира минималната стойност. А за да го направим, трябва да намерим производната на това тук,да разберем къде производната е неопределена или 0, и след това да се уверим, че това е минималната стойност, им всичко ще е наред. Нека препиша това. Комбинираното лице като функция на х, нека препиша това, за да изчислим по-лесно производната. Така, ще имаме корен квадратен от 3 пъти по х на квадрат върху - да видим, това е 4 пъти по 9. Това е х на квадрат върху 9. Тук ще е 4 по 9, т.е. 36. И тогава тук оцветеното в синьо, това ще е плюс 100 минус х на квадрат върху 16. Нека сега намерим производната на израза. Така, А прим, производната на комбинираното лице като функция на х, ще е равна на - ами, производната на това откъм х ще е равна на корен квадратен от 3х върху 18. Производната тук откъм х, ами, това е производната на някакъв елемент на квадрат върху 16 откъм този елемент. Така че ще е налице равенство с този елемент на първа степен по 2/16, което е това върху 8. И тогава умножаваме по - използваме правилото на веригата - по производната на елемента откъм х. Производната на 100 минус х откъм х е минус 1, така че имаме умножение по минус 1. Тук ще умножим по минус 1. И можем цялото това да го препишем като - това ще е равно на корен квадратен от 3/18 х плюс - да видим, това мога да го запиша като плюс х/8. Мога да го запиша и като 1/8 х, нали така? Понеже минус 1, умножено по минус х дава плюс х/8. И тогава имаме минус 100/8, което е минус 12,5 - минус 12,5. Искаме да намерим х, което намалява това лице. Тази производна тук е дефинирана за всяко х. Така че няма да намерим критичната точка чрез намиране на мястото, където производната е неопределена. Но можем да намерим критична точка като приравним тази производна на 0, за да намерим какви стойности на х приравняват производната на 0. Кога имаме наклон 0 при нашата първоначална функция? И тогава трябва да проверим дали това ще е минимална точка, ако можем да намерим едно х, което приравнява това на 0. Така че нека се опитаме да намерим х. Ако съберем двете страни с 12,5, получаваме, че 12,5 е равно на - ако добавим х - множителите, получаваме корен квадратен от 3/18 плюс 1/8 х. За да намерим х, делим двете страни на това. Получаваме, че х е равно на 12,5 върху корен квадратен от 3/18 плюс 1/8. И сме готови. При х, равно на това, нашата производна е равна на 0. Още не трябва да казвам, че сме готови. Не знаем дали това е минимална точка. За да разберем дали това е минимална точка, трябва да разберем дали нашата функция е вдлъбната нагоре или надолу когато х е равно на това нещо. За да разберем това, нека пресметнем втората производна тук. Нека препиша втората производна на целия този израз. Втората производна, ами, това е същата функция като тази тук. Така че нека я препиша. Имаме А прим, производната на комбинираното лице, тя беше равна на корен квадратен от 3/18 х плюс 1/8 х минус 12,5. Втората производна ще е корен квадратен от 3/18 плюс 1/8. Така че това нещо тук е по-голямо от 0, което показва вдлъбнатост нагоре за всички стойности на х. Вдлъбнатост нагоре, което означава за всички х. Един вид имаме такава ситуация. Ако намерим х, за което наклонът е 0, то ще е за интервал, при който е налице вдлъбнатост нагоре. Тук има такава вдлъбнатост за всички х. Така ще сме на минимална точка. Наклонът тук е 0. Това тук ще е на минимална точка. Така че пак е налице положение на минимална точка. Сега, ако всъщност разполагахме с тел, дълга 100 метра, този израз не е много стойностен. Бихме искали да получим доста приближена стойност според разположението, на което да направим изрязване, което е реална десетична дроб. Така че нека използваме калкулатора, за да я получим. Имаме 12,5, делено на корен квадратен от 3 върху 18 плюс 1 върху 8, което прави - сега е ред на барабаните. Отговорът е 56,5. Това е приблизително равно на 56,5. Това изрязване се прави на около 56,5 - ще напиша грубо - 56,5 метра от лявата страна. И ще минимизираме комбинираното лице на тези две фигури.