Оптимизация: обем на кутия (Част 1)

Нека да кажем, че разполагаме с парче картон, който е 20 инча на 30 инча. Нека да нарисувам картон, доколкото мога. Може да изглежда като нещо такова. Това е моето парче картон. И само за да се уверя, че знаем размерите, тази страна е 20 инча, а тази е 30 инча. Това, което ще направим, е да изрежем ъглите на този картон. И всички ъгли ще бъдат изрязани под формата на квадрат. Ще изрежем х на х квадрат от всеки от ъглите на това парче картон. Ето тук, х на х, а след това ето тук х на х. И това, което ще направим след като изрежем ъглите, е да сгънем надолу страните. Нека да означа страните. Може да си представиш, че сгъваме ето тук. Може да сгънем ето тук, и ето тук. И ще оформим кутия. Може да си представим, че това е кутия без дъно към нея, или да го разглеждаш като кутия без капак към нея. Ако сгънем всичко нагоре, то ще получим кутия, която изглежда като нещо такова. Нека да опитам да го начертая по най-добрия начин. Би изглеждало ето така. Това е едната страна, сгъната нагоре. Може да си представиш ето тази страна ето тук, ако е сгъната нагоре ето така. Сега ще изглежда по този начин. Сега би изглеждало по този начин. Височината на стената е х. Тоест, това разстояние ето тук е равно на х. Ако след това сгънем тази страна - нека да я направя малко по-добре. Ако исках да сгъна тази страна ето тук, ако исках да я прегъна нагоре, то би изглеждала ето така. Нека да направя най-добрия опит да я начертая. Би изглеждала по следния начин. След това ще сгъна нагоре ето тази страна. Тогава задната стена ще изглежда като нещо такова. Това ще бъде задната стена. Би изглеждало по следния начин. Тогава тази стена ето тук – ако я сгъна ето така – ще изглежда по следния начин. Накрая, разбира се, това е основата на цялото това нещо. Цялото това пространство ето тук от моето парче картон, ще бъде дъното на тази кутия, която конструирам. И това, което искам да направя, е да намеря максималния обем на тази кутия. Искам да разбера колко възможно най-много може да побере. И искам да намеря максималния обем, като избера подходящо х. Нека да помислим: на какво е равен обемът на кутията, ако е изразен като функция на х. За да направим това, трябва да намерим всички обеми на тази кутия като функция на х. Вече знаем, че този ръб ето тук – който е направен, когато тази и тази страна се свържат, т.е. се прегънат тези две страни нагоре – ще бъде равен на същата височина като този. Същата височина има и този ръб. Височината на кутията ще бъде равна на х. А на какво е равна широчината? На какво е равна широчината на тази кутия? Широчината на кутията ще бъде равна на това разстояние ето тук. А това разстояние ще бъде 20 инча, но не минус х, а минус 2х. Следователно широчината на кутията ще бъде равна на 20 – 2х. Ето тук се вижда. Цялото това разстояние е равно на 20. Изваждаш този х, изваждаш този х, и получаваш разстоянието ето тук. Следователно то е равно на 20 – 2х. А сега, по същата логика, на какво е равна дължината на кутията? На какво е равно ето това разстояние ето тук? Това разстояние е всъщност това разстояние ето тук. Знаем, че цялото това разстояние е равно на 30 инча. Ако извадим този х и извадим и този х от него, то получаваме разстоянието, което ни интересува. Това ще бъде равно на 30 – 2х. Сега имаме всички размери. Как ще изглежда обемът като функция на х? Обемът, като функция на х, ще бъде равен на височината, която е равна х, умножено по широчината, която е равна на 20 –х. Извинявам се! 20 – 2х, умножено по дължината, която е равна на 30 – 2х. А сега, какви са възможните стойности за х, за които се получава реален обем? х не може да бъде по-малко от 0. Не може да изрежеш отрицателен размер от картона. Все пак трябва да добавим картон или нещо друго там. Знаем, че х ще бъде число, по-голямо или равно на 0. Нека да го запиша. х ще бъде по-голямо или равно на 0. А от какво трябва да бъде по-малко? Мога най-много да изрежа... Може да видим ето тук, дължината ето тук, с този розов цвят, този бледоморав цвят – е равна на 20 – 2х. Тази дължина следва да е по-голяма от 0. Но трябва и да е по-малка от 30 – 2х. Но 20 – 2х следва да бъде по-голямо или равно на 0. Не може да изрежеш повече картон, отколкото имаш. Или може да кажеш, че 20 следва да е по-голямо или равно на 2х. Получава се, че 10 ще бъде по-голямо или равно на х, което е друг начин да кажеш, че х ще бъде по-малко или равно на 10. Това е различен нюанс на жълтото. х ще бъде по-малко или равно на 10. Следователно х следва да се намира между 0 и 10. В противен случай или сме изрязали твърде много, или сме добавили още картон. Нека първо да намерим кои са крайните точки на дефиниционното множество, т.е. за това, което х може да се получи от обема. Обемът, когато х е равно на 0, на какво е равен? Получава се 0, умножено по този израз. Очевидно е. Няма да има никаква височина ето тук. Следователно няма да има и никакъв обем, т.е. обемът ще бъде равен на 0. На какво е равен обемът, когато х е равно на 10? Ако х е равно на 10, то тогава ширината, която ето тук съм означил с розово, ще бъде равна на 0. И отново няма да има никакъв обем. Тогава този член ето тук, ако просто го разглеждаме алгебрично, също ще бъде равен на 0. Следователно целият израз ще бъде равен на 0. Тогава някъде между х = 0 и х = 10 следва обемът да достига максимална стойност. Преди да решим задачата аналитично, чрез математически анализ, нека го направим графично. Ще взема моя удобен калкулатор TI-85. Нека да взема моя удобен калкулатор TI-85. Нека първо да избера правилно дефиниционното множество, преди да начертая функцията. Избирам графична функция. Нека първо да избера дефиниционното множество. Минималната стойност за х, нека да избера да е 0. Знаем, че х не може да е по-малко от 0. За максималната стойност 10 изглежда добре. Минимална стойност стойност за у, което всъщност ще бъде равно на обема. Не може да се получи отрицателен обем, така че нека да избера това да е равно на 0. Максимална стойност за у – нека да видим, какво би било подходящо тук. Просто ще избера някаква произволна стойност за х и ще видя какъв обем ще се получи. Ако х е равно на 5, ще се получи 5 по 20 минус 10, което равно на 10. Тогава ще се получи... Направих ли го правилно? Да, 20 минус 2 по 5, това ще бъде равно на 10, и тогава умножено по 30 минус 2 по 5, което ще бъде равно на 20. Ще се получи 5 по 10, по 20. Ще се получи обем от 1000 кубични инча. Просто произволно избрах числото 5. Нека да избера максималната стойност за у да е малко по-висока, отколкото тази, просто в случай, че това не е максимална стойност. Просто избрах тази произволно. Нека да кажем, че у max (максимална стойност) е равно на 1500 и ако поради някаква причина графиката не се получи, тогава може да зададем у max да е дори още по-голяма стойност. Мисля, че това е добро дефиниционно множество. Нека сега да въведем и самата функция. Обемът е равен на х по 20 минус 2х, по 30 минус 2х. И това изглежда добре. Мисля, че сега мога да направя графиката. Въвеждам данните и искам да избера ето тази опция. Натискам Graph. Изглежда, че сме задали правилното дефиниционно множество. Графиката ни показва, че обемът е функция на х, като х е между 0 и 10, и изглежда, че достига максимална стойност някъде около това място. Ще използвам опцията Trace, за да намеря приблизително коя е тази точка на максимум. Нека да проследя тази функция. Мога да избера и по-висока, и по-висока стойност. Добре. Ето там обемът е равен на 1055,5. След това може да достигне до 1056. Нека да видим, това е 1056,20, а това е 1056,24. След това се връща обратно на 1055. Поне като се основаваме на степента на увеличение – което в момента съм задал на калкулатора – това е сравнително добро приближение за максимална стойност на обема, до която достига функцията. Изглежда, че максималната стойност е около 1056, и се получава около х = 3,89. Изглежда, че обемът за х = 3,89 е приблизително равен на 1056 кубични инча. С други думи: функцията достига максимум, когато х е приблизително равно на 3,89. Дотук просто съставихме задача за търсене на максимална стойност, и я разгледахме графично. В следващия урок ще се опитаме да я решим аналитично, като използваме методи от математическия анализ.