Основно съдържание

Курс: Диференциално смятане > Раздел 4

Урок 4: Въведение във функционалната зависимост между скоростите

Анализ на задачи, съдържащи функционално зависими скорости

Задачи, свързани съ функционална зависимост между скорости са словесни задачи, в които разсъждаваме върху скоростта на изменение на величина като използваме информация, която имаме за скоростта на изменение на друга величина, свързана с нея. Нека да се запознаем с този вид задачи.

Задачи със зависими скорости са приложни задачи, в които намираме скоростта, с която дадена величина се променя, в зависимост от други величини, чиито скорости са известни.

Работен пример за решаване на задачи със зависими скорости

Представи си, че ни е дадена следната задача:

Радиусът $r (t)$ ‍ на окръжност нараства със скорост $3$ ‍ сантиметра на секунда. В даден момент $t_{0}$ ‍, радиусът $8$ ‍ сантиметра.

Каква е скоростта на изменение на площта $A (t)$ ‍ на окръжността в дадения момент?

Връзка между величините и скоростта им на изменение

По принцип тук работим с окръжност, чиито размер се променя с течение на времето. В този проблем има две величини, които са свързани:

r (t)

е радиусът на окръжността след

t

секунди. Измерва се в сантиметри.

A (t)

е площта на окръжността след

t

секунди. Измерва се в квадратни сантиметри.

Задачата е свързана със скоростите на тези величини. Скоростта на изменение на всяка величина се представя чрез производна:

r^{'} (t)

моментната скорост, с която радиусът се променя в момент от време

t

. Измерва се в сантиметри на секунда.

A^{'} (t)

е моментната скорост, с която площта се променя в момент от време

t

. Измерва се в квадратни сантиметри на секунда.

Забележи, че е дадено, че

r (t)

се измерва в сантиметри, а

r^{'} (t)

се измерва в сантиметри на секунда, но не са ни дадени мерните единици на

A (t)

A^{'} (t)

Като вземем предвид задача обаче, можем да предположим, че площта

A (t)

се измерва в квадратни сантиметри (защото радиусът се измерва в сантиметри). При това,

A^{'} (t)

следва да се измерва в квадратни сантиметри на секунца, защото е производна на

A (t)

Анализ на данните

Знаем, че радиусът нараства със скорост от

3

сантиметра на секунда. Това означава, че

r^{'} (t) = 3

за всяка стойност

t

Знаем също, че в даден момент

t_{0}

, радиусът е

8

сантиметра. Това означава, че

r (t_{0}) = 8

. Забележи, че това е валидно само за момент

t_{0}

, а не за всяка стойност на

t

Накрая, искаме да намерим скоростта на изменение за

A (t)

в момент

t_{0}

. Математически, търсим стойността на

A^{'} (t_{0})

Връзка между площта и радиуса

След като дадохме обяснение за отделните величини, следва да потърсим уравнение, или формула, която ги свързва. Величините в дадения случай са площ и радиус на окръжност. Те са свързани във формулата за площ на окръжност:

A = π r^{2}

Диференциране

За да намерим

A^{'} (t_{0})

трябва да намерим производната на всяка страна от уравнението. След като го направим, може да направим връзката между

A^{'} (t_{0})

и други известни стойности като

r^{'} (t_{0})

, което ще ни позволи да изчислим

A^{'} (t_{0})

Не разполагаме с конкретна формула за

A (t)

r (t)

, така че ще извършим непряко диференциране:

\begin{aligned} A (t) & = π [r (t)]^{2} \\ \frac{d}{d t} [A (t)] & = \frac{d}{d t} [π [r (t)]^{2}] \\ A^{'} (t) & = 2 π r (t) r^{'} (t) \end{aligned}

Това е основата на решението: като правим връзка между величините (например

A

r

) имахме въможността да свържем стойностите им (например

A^{'}

r^{'}

), чрез диференциране. Това е причината задачи от този вид да се наричат "зависими скоростти"!

Решение

Имай предвид, че уравнението, което получихме е вярно за всяка стойност на

t

и конкретно за

t_{0}

. Може да заместим

r (t_{0}) = 8

r^{'} (t_{0}) = 3

в уравнението:

\begin{aligned} A^{'} (t_{0}) & = 2 π r (t_{0}) r^{'} (t_{0}) \\ = 2 π (8) (3) \\ = 48 π \end{aligned}

В заключение открихме, че в момент

t_{0}

, площта нараства със скорост от

48 π

квадратни сантиметра на секунда.

Задача 1.а

Задача 1 съдържа стъпките за анализиране на следния проблем:

Основата $b (t)$ ‍ на триъгълник намалява със скорост от $13$ ‍ $m/h$ ‍, а височината $h (t)$ ‍ на триъгълника нараства със скорост от $6$ ‍ $m/h$ ‍. В даден момент $t_{0}$ ‍, основата е $5$ ‍ $m$ ‍, а височината е $1$ ‍ $m$ ‍. Каква е скоростта на изменение на площта $A (t)$ ‍ на триъгълника в дадения момент?

Свържи всеки израз с мерните единици.

	$м$ ‍	$м/ч$ ‍	$м^{2}$ ‍	$м^{2} /ч$ ‍
$b^{'} (t)$ ‍
$A (t_{0})$ ‍
$h (t_{0})$ ‍
$\frac{d A}{d t}$ ‍

Искаш още упражнения? Опитай това упражнение.

Често срещана грешка: Объркване кои изрази са променливи и кои константи

Както забеляза, задачите със зависими скорости съдържат множество изрази. Някои представляват величини, а други представляват скоростите им. Някои от тях се променят, а други са константи.

Важно е да се увериш, че разбираш значението на всички изрази и можеш да ги свържеш с подходящи стойности (ако са известни).

Препоръчваме извършване на анализи на подобни задачи като показаните в примера и Задача 1: Кои са свързаните величини? Кои са скоростите им? Какви са мерните им единици? Какви са стойностите им?

Задача 2

Помисли върху следната задача:

Две коли се движат към кръстовище от две перпендикулярни направления. Скоростта на първата кола, е $50 km/h$ ‍, а скоростта на втората, $90 km/h$ ‍. В даден момент от време $t_{0}$ ‍, първата кола се намира на разстояние $x (t_{0})$ ‍ от $0, 5 km$ ‍ от кръстовището, а втората кола се намира на разстояние $y (t_{0})$ ‍ от $1, 2 km$ ‍ от кръстовището. Каква е скоростта на изменение на разстоянието $d (t)$ ‍ между колите в дадения момент?

Кое уравнение следва да се използва, за да се реши задачата?

Често срещани грешки: Избор на уравнение, което не описва поставената задача

Както забеляза, уравнението, което свързва всички величини играе съществена роля за решение на задачата. Обикновено помага да имаш някакъв чертеж, който описва сотуацията, заедно с всички свързани величини. Нека да разгледаме Задача 2 като пример. Задачата описва правоъгълен триъгълник.

Чертежът показва ясно, че уравнението, което търсим свързва всички три страни на триъгълника, което може да се постигне с питагорова теорема:

[d (t)]^{2} = [x (t)]^{2} + [y (t)]^{2}

Без чертеж, може без да искаме да приемем, че

d (t)

площта на триъгълника...

d (t) = \frac{x (t) \cdot y (t)}{2}

...или да приемем, че

x (t)

y (t)

, и

d (t)

са трите ъгъла на триъгълника...

d (t) + x (t) + y (t) = 180

...или да приемем, че

d (t)

като ъгъл и така да съставим тригонометричното уравнение

tg [d (t)] = \frac{y (t)}{x (t)}

Всички тези уравнения може да се използват в други подобни задачи, но не и за Задача 2.

Задача 3

Помисли върху следната задача:

$20$ ‍-метрова стълба е опряна на стена. Разстоянието $x (t)$ ‍ между долният край на стълбата и стената нараства със скорост $3$ ‍ метра на минута. В даден момент от време $t_{0}$ ‍, горният край на стълбата, е на разстояние $y (t_{0})$ ‍ от $15$ ‍ метра от земята. Каква е скоростта на изменение на ъгъла $θ (t)$ ‍ между земята и стълбата в този момент?

Кое уравнение следва да се използва, за да се реши задачата?

Искаш още упражнения? Опитай тази задача.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.