Въведение в диференцирането на свързани функции

Знаем, че диференцируемите функции X и Y са свързани чрез следното уравнение. Y = sqrt(X) (квадратен корен от X). Интересното е, че ни казват, че и двете са диференцируеми функции, т.е. X също е функция. Това означава, че е функция да друго нещо. Казват ни, че производната на X спрямо t е 12. Искат да намерим производната на Y спрямо t, когато X = 9. Нека да се уверим, че разбираме задачата. Казват ни, че и X, и Y, са функции. Вероятно и двете са функции на t. Y е функция на X, но след като X е функция на t, то Y може също да е функция на t. Един начин да мислим за това, е че ако X = f(t), а Y = sqrt(X), то просто Y = sqrt(f(t)). Друг начина да мислиш за това, е ако вземеш t като променлива на функцията f, то ще получиш X. Тогава ако вземеш това като променлива за функцията корен квадратен, то ще получиш Y. По този начин можеш да разглеждаш това като една голяма кутия, където Y е функция на t. Сега обаче нека да отговорим на поставения въпрос. За да се справим с това, просто трябва да приложим верижното правило. Верижното правило ни казва, че производната на Y спрямо t, е равна на производната на Y спрямо X умножена по производната на X спрямо t. Нека го приложим за дадената ситуация. Ще получим, че производната на Y спрямо t, е равна на производната на Y спрямо X. Е, на какво е равно това? По условие Y = sqrt(X). Може да го напишеш и като Y = X^(1/2). Може да приложим и правилото за степенуване. Производната на Y спрямо X е 1/2 * X^(–1/2). Нека да го запиша. 1/2 * X^(–1/2) И след това умножено по производната на X спрямо t. Искаме да намерим това, което имаме тук с оранжево, което и ни питат в задачата. Казват ни, че X = 9, а производната на X спрямо t е равна на 12. Следователно имаме цялата информация, която ни е необходима за решението. Тогава това ще бъде равно на 1/2 умножено по 9^(–1/2). и умножено по dX/dt, т.е. производнaта на X спрямо t, която е равна на 12, т.е. по 12. 9^(1/2) ще бъде 3. 9^(–1/2) ще бъде 1/3, така че това е 1/3. Това ще се опрости до 1/2 * 1/3, което е 1/6, така че може да имам 6 в знаменател. Тогава ще имам 12 в числител. Получихме 12/6, така че производната на Y спрямо t, когато X = 9, a производната на X'(t) = 12, e 2.