Функционално зависими скорости: балон

Наблюдаваш някакъв вид шоу с балони с горещ въздух и ти е интересно колко бързо един такъв балон с горещ въздух се издига. Имаш някаква информация на разположение. Знаеш къде се намира точката на земята, която е точно под балона с горещ въздух. Нека да изберем балонът да излита от тази точка, и просто върви право нагоре от този момент нататък. Знаем, т.е. измерили сме, че се намираш на 500 метра от мястото на излитане. Знаеш, че се намираш на 500 метра от мястото на излитане. И също така можеш да измериш ъгъла между хоризонта и направлението на балона с горещ въздух. Може да го направиш, не знам със сигурност, защото не съм геодезист, но предполагам с визьор или нещо такова. Можеш да го направиш – не съм сигурен дали това е точният инструмент, но има инструменти, с които може да измерваш ъглите между хоризонта и нещо, което не се намира на хоризонта. Знаеш, че този ъгъл точно ето тук е равен на π/4 радиана или 45 градуса. Ще го записваме като π/4, защото, когато търсиш производни на тригонометрични функции, предполагаш, че работиш в радиани. Така че точно ето този ъгъл е равен на π/4 радиана. И също така може да измериш скоростта, с която този ъгъл се променя. Променя се със скорост 0,2 радиана на минута. Въпросът ми към теб сега, или въпросът, на който се опитваш да отговориш, когато наблюдаваш балон с горещ въздух, е с каква скорост се издига в този момент? Колко бързо се издига, просто като знаеш, че ъгълът между хоризонталата и линията между теб и балона с горещ въздух, е равен на π/4 радиана, но се променя със скорост от 0,2 радиана на минута? Нека да помислим върху това какво ни е известно и какво се опитваме да намерим. Известни са ни няколко неща. Знаем, че θ (тита) е равен на π/4, ако изберем този ъгъл ето тук да е θ. Така че този ъгъл е θ. Също така ни е известна скоростта, с която θ се променя. Знаем на какво е равно dθ. Нека да го запиша с жълт цвят. Знаем, че dθ/dt е равно на 0,2 радиана на минута. Какво се опитваме да намерим сега? Опитваме се да намерим скоростта, с която височината на балона се променя. Така че, ако наречем това разстояние точно ето тук h, то това, което искаме да намерим, е dh/dt. Това е, което не ни е известно. Това, което искаме да намерим, е зависимост между dh/dt, dθ/dt и може би θ, ако е необходимо. Или, казано по друг начин, ако може да намерим зависимостта между h и θ, то тогава може да намерим производната ѝ спрямо t и вероятно да получим зависимост между всички тези променливи. И така, каква е връзката между θ и h? Това е свързано с малко тригонометрия. Знаем, че се опитваме да намерим h. Вече знаем на какво е равно това разстояние тук. Знаем на какво е равно срещуположна страна върху прилежаща. Това е определението за тангенс. Нека да запишем това. Знаем, че тангенс от θ е равно на срещуположната страна, която е равна на h, върху прилежащата страна, която знаем, че е точно 500 метра. Ето, че намерихме връзка между θ и h. А сега, за да намерим връзка между dθ/dt, т.е. скоростта, с която θ се променя спрямо t, и скоростта, с която h се променя спрямо t, то просто следва да намерим производната от двете страни на това уравнение спрямо t, чрез неявно диференциране. Нека да го направим. И всъщност, нека да преместя малко това h върху 500. Нека малко да го преместя, така че да имам място да запиша означението за производна. Нека да го запиша ето така. А сега ще намеря производната спрямо t. Тоест d/dt. Ще търсим производната спрямо t отляво. Ще търсим производната спрямо t отдясно. На какво е равна производната спрямо t от тангенс от θ? Тук просто ще приложим верижното правило. Ще бъде равно първо на производната на тангенс от θ спрямо θ, което е просто равно на квадрата на секанс от θ (1/cosθ), по производната на θ, спрямо t, по dθ/dt. Още веднъж, това е просто производната на тангенс, тангенс от нещо спрямо това нещо по производната на това нещо спрямо t. Производна от тангенс от θ спрямо θ по производната на θ спрямо t, т.е. dθ/dt, е равно на производната на тангенс от θ спрямо t, което е точно това, което търсим, когато използваме този вид означение за производна. Търсим производната спрямо t, а не просто производната спрямо θ. Дотук добре. Това е от лявата страна. Тогава от дясната страна ще получим...Е, просто ще бъде равно на 1 върху 500 по dh/dt. 1 върху 500 по dh/dt. Буквално казваме, че е просто 1 върху 500 по производната на h спрямо t. Ето, че сега имаме търсената зависимост. Имаме зависимостта, която ни интересува. Имаме връзка между скоростта, с която височината се променя спрямо времето, и скоростта, с която ъгълът се променя спрямо времето, и нашият ъгъл във всеки един момент. Може да вземем тези стойности отгоре, да ги заместим в полученото уравнение, и тогава да намерим неизвестното. Нека да го направим. Нека да го направим ето тук. Имаме секанс от θ на квадрат. Получава се секанс на квадрат. Точно сега θ е равно на π/4. Секанс на квадрат от π/4. Нека да използвам същите цветове, за да ти покажа, че замествам именно тези стойности в уравнението. Секанс на квадрат от π/4. Секанс по dθ/dt. Това е равно просто на 0,2. Следователно умножено по 0,2. Тогава дясната страна ще бъде равна на 1 върху 500. Искаме да се уверим в нещо. Тъй като изменението е в радиани на минута, то ще получим метри на... А това ето тук, е в метри. Ще получим метри на минута за ето този израз. Просто искам да се уверим, че знаем какви ще бъдат мерните ни единици. Не ги написах тук, за да спестя малко място. Но получаваме 1 върху 500 по dh/dt. Ако искаме да намерим dh/dt от уравнението, то може да умножим двете страни по 500 и ще получим, че скоростта, с която височината се променя, е равна на 500 по... нека да видим... секанс от π/4 на квадрат. Това е равно на 1 върху косинус на квадрат от π/4. Нека да го запиша ето тук. Косинус от π/4 е равно на квадратен корен от 2 върху 2. Косинус на квадрат от π/4 ще бъде равно на 2 върху 4, което е равно на 1/2. Следователно секанс от π/4 на квадрат е просто равно на 1 върху ето това, което е равно на 2. Това ще бъде равно на... нека да го запиша по друг начин: секанс на квадрат от π/4. Нека да изтрия това ето тук. Секанс от π/4 на квадрат, т.е. ето този член тук се опростява до 2. Така че по 2, по 0,2...По 0,2 На какво ще бъде равно това? Това ще бъде равно на 500 по 0,4. Следователно това е равно на 500 по... нека просто да го запиша с точка: по 0,4, което е равно на...Нека да се уверя, че ще го запиша правилно. Това ще бъде с две нули и една след десетичната запетая. Ето, получихме го! Ще бъде равно на 200. Скоростта, с която височината се променя спрямо времето точно в този момент е равна на 200 метра на минута. dh/dt е равно на 200 метра на минута.