Точни уравнения пример 3

Здравей отново! Опитвам се да ти покажа възможно най-много примери за решаване на обикновени диференциални уравнения. Най-напред определяме дали уравнението е ОДУ. Когато се убедим, че е такова, как да намерим функцията Пси и решението на диференциалното уравнение? Следващата задача в моя учебник е 3Х на квадрат минус 2ХY плюс 2 по dX плюс 6Y на квадрат минус Х на квадрат плюс 3, по dY, равно на нула. Записано по този начин, то не изглежда да е в удобен вид, нали? Какъв вид искаме? Искаме да е някаква функция от Х и Y плюс друга функция, пак от Х и Y по производната на Y, dY/dX, равно на 0. Близко сме до това. Как да преобразуваме даденото уравнение в такава форма? Нека разделим двете страни на уравнението на dX. Получаваме 3Х на квадрат минус 2ХY плюс 2, и разделяме на dX, значи това dХ ще стане 1. Плюс 6Y на квадрат минус Х плюс 3, тук също делим на диференциала на Х, става по dY/dX, равно на 0 делено на dX, колко е това? Това е просто 0. И го получихме. Записахме уравнението в нужната форма. Сега трябва да си докажем, че това уравнение е ОДУ (обикновено диференциално уравнение). Да го направим. Колко е частната производна на М? Нали този израз е функцията М? Тук всъщност е плюс. Каква е частната му производна спрямо Y? Първият член прави 0, после е минус 2Х, и накрая константата 2 изчезва. Значи частната производна на М спрямо Y е -2Х. Колко е частната производна на N спрямо Х? Този член ще е 0, а този е -2Х... ето това получихме. Частната производна на М спрямо Y е равна на частната производна на N спрямо Х. М суфикс Y е равно на N суфикс Х. Това означава, че имаме обикновено диференциално уравнение. А сега е време да намерим Пси. Частната производна на Пси спрямо Х е равна на М, което е равно на 3Х на квадрат минус 2ХY плюс 2. Намираме примитивната функция спрямо Х на двете страни и ще получим, че Пси е равно на Х на трета минус Х на втора по Y, защото Y се разглежда като константа, плюс 2Х, плюс някаква функция от Y. Нали така? Тъй като знаем, че Пси е функция на Х и на Y. Затова, когато пресмятаме частна производна само спрямо Х, една функция само от Y ще бъде загубена. Тя играе ролята на константата, за която говорехме в началото, когато учехме примитивни функции. А сега, за да намерим Пси, остана само да намерим Н от Y. Как става това? Нека сметнем частната производна на Пси спрямо Y. Това ще е равно на този израз. Това е 0, а това тук е минус Х на квадрат. Значи, минус Х на квадрат, този член става 0, плюс Н прим от Y, на какво е равно това? Това е равно на нашия израз N от Х и Y. Подчертавам го, ще е равно на това. Можем да го решим за тази функция. И така, това е равно на 6Y на квадрат минус Х на квадрат плюс 3. Можеш да добавиш Х на квадрат към двете страни, за да се отървеш от тези членове. Остава само Н прим от Y равно на 6Y на квадрат плюс 3. Примитивната функция: Н от Y е равно на 2Y на трета плюс 3Y. Можем да добавим и произволната константа С, но тя се събира по-късно с друга константа, когато решим диференциалното уравнение, затова можем да не се занимаваме с нея. И така, каква е функцията Пси? Ще я запиша в различен цвят. Пси е функция на Х и Y и е равна на Х на трета минус Х на втора по Y плюс 2Х, плюс Н от Y, което намерихме току-що. Имаме Н от Y равно на 2Y на трета плюс 3Y. Тук може да има и плюс константата С, но видяхме, че тя не е особено важна. Сега искам да направя нещо по-различно. Няма само да прелетя през решението на задачата, искам да се върна на логиката. Не искам да покажа само механично решаване. Като използвам знанията отпреди да учим за верижното правило с частни производни, искам да изразя производната на Пси спрямо Х. Колко е тя? Ще използваме само уменията си за диференциране. Производната на това, ще използвам нов цвят, 3Х на квадрат минус, тук ще се наложи да ползвам верижното правило, производната на следващия израз спрямо Х е... ще сложа знака минус пред скоби, тя е 2Х по Y плюс първата функция, Х на квадрат, по производната на втората спрямо Х. Това е просто Y прим, нали така? Това е производната на Y спрямо Y, тя е 1, по производната на Y спрямо Х, която е Y прим. Дотук добре. Плюс производната на това спрямо Х, това е лесно, 2. Плюс производната на това спрямо Х. Първо да изчислим производната на това спрямо Y. Правим неявно диференциране по верижното правило. Това е плюс 6 Y на квадрат. После ще ползваме верижното правило, това беше производната спрямо Y. После ще го умножим по производната на Y спрямо Х, която е Y прайм. Плюс производната на този член спрямо Y, това е 3, умножено по, според верижното правило, производната на Y спрямо Х. Тя е Y прайм. Да опитаме да опростим това. Групираме 3Х на квадрат минус 2ХУ плюс 2. Това са този, този и този член. Плюс, да изнесем Y прим пред скоби, по минус Х на квадрат плюс 6Y на квадрат плюс 3. Това е производната на нашето Пси, както го намерихме. Вгледай се внимателно, за да видиш дали това е същото, като началната задача. Какво беше първоначалното уравнение? То е 3Х на квадрат минус 2ХY плюс 2, плюс 6Y на квадрат минус Х на квадрат плюс 3 по Y прайм равно на 0. Това беше даденото уравнение. Забележи, че производната на Пси спрямо Х, която намерихме чрез неявно диференциране, е точно равна на него. Надявам се, че това ти помогна да разбереш защо можем просто да препишем това уравнение като производната на Пси спрямо Х, където Пси е функция на Х и Y, равно на нула. Защото това всъщност е производната на Пси спрямо Х. Записах го тук. Тези двете са едно и също нещо. И то е равно на 0. Ако намерим примитивните функции на двете страни, знаем, че решението на това диференциално уравнение е Пси от Х и Y равно на С. Знаем и колко е Пси, значи просто ще го приравним на С, за да получим решение на диференциалното уравнение. Ще го дефинирам неявно. Не е нужно да правиш това всеки път, когато решаваш задача. Тази стъпка не е нужна, когато си на изпит, освен, ако не е изрично изискана. Направих я сега, за да се уверя, че знаеш какво правиш, а не само механически да изпълняваш поредица от стъпки. За да се убедиш за какво ти служи производната на Пси: решихме уравнението за Пси. Исках да ти покажа, че производната на Пси спрямо Х чрез неявно диференциране и стандартното верижно правило наистина е равна на лявата страна на диференциалното уравнение, от което започнахме. Така разбираме, че производната на Пси спрямо Х е равна на 0, защото в изходното диференциално уравнение лявата страна е равна на 0. Намираш примитивните функции на двете страни и получаваш Пси равно на С, решението на диференциалното уравнение. Можеш да го разпишеш, Пси е този израз. Нашето решение на диференциалното уравнение е Х на трета минус Х на квадрат по Y плюс 2Х плюс Y на трета плюс 3Y е равно на С, това е неявно дефинираното решение на даденото диференциално уравнение. Отново времето ни свърши, ще се видим в следващия урок.