Интегриране на фактори 2

В предишния урок имахме това диференциално уравнение (ДУ). На пръв поглед изглеждаше като обикновено ДУ. Но когато изчислихме частната производна на този израз, която можем да наречем М спрямо Y, видяхме, че тя е различна от частната производна на втория израз, който означаваме с N, когато говорим за обикновени ДУ. Производната М от Y се оказа различна от N от Х. Така разбрахме, че уравнението не е обикновено ДУ. Но си помислихме, че ако умножим двете страни на това уравнение по някаква функция, може и да се получи обикновено ДУ. Нарекохме тази функция мю. В предишния урок успяхме дори да намерим мю. Казахме, че ако умножим двете страни на това уравнение по мю от Х равно на Х, то в резултат трябва да получим обикновено диференциално уравнение. Важно е да уточня, че може да има и функция от Y, която да направи същото, ако умножа двете страни по нея. Също може да съществува и функция от Х и У, която да свърши работа. Но искаме просто някак да получим обикновено ДУ. Няма значение каква функция ще изберем, тя се нарича интегриращ множител, стига да върши работа. А сега да довършим задачата. Да умножим двете страни на уравнението по Мю. Знаем, че Мю от Х е Х. Това значи, че умножаваме двете страни по Х. Този член по Х е 3Х на квадрат по Y плюс Х по Y на квадрат; а другият член по Х става плюс Х на трета плюс Х квадрат Y по Y прим равно на 0. Да проверим дали сме на прав път: дали това уравнение вече е обикновено ДУ? Коя е частната производна на този израз в първите скоби, спрямо Y? Тук 3Х на квадрат се явява константен коефициент за Y, плюс 2Х по Y: това е частната производна на този израз спрямо Y. Сега да намерим частната производна спрямо Х на израза във вторите скоби: 3 Х на квадрат плюс 2 ХУ. Добре се получи Двете частни производни са равни. Вече знаем, че имаме обикновено ДУ и неговото решение ще е същото, като на първото уравнение. Просто умножихме двете страни на уравнението по Х. Това няма да повлияе на решението на диференциалното уравнение. Да решим полученото обикновено ДУ. Как да подходим? След като вече доказахме, че уравнението е обикновено ДУ, то знаем, че съществува такава функция Пси, че производната на Пси спрямо Х да е равна на този израз. Изразът е 3 Х квадрат по У плюс Х Y на квадрат. Да намерим примитивната функция на двете страни спрямо Х. Получаваме, че Пси е равно на какво? На Х на трета по У плюс 1/2 от Х квадрат по Y квадрат. Разбира се, това Пси е функция на Х и Y, затова при изчисляването на частната производна спрямо Х, може да сме изгубили някаква част от него, която е функция само на Y. Така вместо да добавим само С, може да имаме загубената функция от Y. Ще я добавим обратно, когато определяме примитивната функция. Това е нашето Пси. Но не сме напълно готови. Остава да намерим тази функция h(Y). За целта можем да използваме информацията, че частната производна на този израз спрямо Y е равна на това. Да го разпишем. Каква е частната производна на този израз спрямо Y? Това е частната производна на Пси спрямо Y, която е Х на трета плюс 2 по 1/2 по Х на квадрат по Y плюс h прим от Y. Това е частна производна на една функция само от Y спрямо Y. Това трябва да е равно на новия израз, който получихме, като умножихме по интегриращия множител. Ето това тук. Дано всичко дотук ти е ясно. Равно на Х на трета плюс Х квадрат по Y. Тези две събираеми ги има и от другата страна. Това е интересно. Можем да ги извадим от двете страни. Вадим Х на трета и Х квадрат Y. Остава само h прим от Y равно на 0. Това означава, че h(Y) е равно на някаква константа. Значи няма допълнителна функция от Y, а само константа. За целта на нашето упражнение е достатъчно да кажем, че Пси е равно на това. Тъй като остана константа, а ще търсим примитивна функция и ще получим константа и отдясно. Както в предишните уроци, ще слеем тези константи в една. Затова приемам, че Пси е само това. Знаем, че горното диференциално уравнение може да се преобразува като производната на Пси спрямо Х... прилагаме верижното правило за частни производни. И така, производната на Пси спрямо Х е равна на 0. Ако изчислим производната на Пси спрямо Х, тя ще е равна на цялото това според верижното правило за частните производни. Известна ни е функцията Пси. Бихме могли да изчислим, но не е нужно: този факт е достатъчен, за да интегрираме двете страни на уравнението и да намерим решението Пси равно на С. Просто изчислих антипроизводната на всяка от двете страни. Така намерихме решение на диференциалното уравнение: Пси равно на С. И така, Пси е равно на Х на трета по Y плюс 1/2 Х на квадрат по Y на квадрат. Можем да добавим и константа, но решението е Пси равно на С. Можеше да запиша плюс друга константа, но и отдясно имам произволна константа. Като извадим константите от двете страни, отдясно ще получим разлика на константи, което пак е произволна константа като С. Да обобщим решението. Започнахме от диференциално уравнение, което на пръв поглед ни се стори обикновено ДУ. Когато го проверихме, се оказа, че то не е обикновено ДУ. Умножихме го по интегриращ множител. В предишния урок намерихме един възможен интегриращ множител: това е Х. Умножихме двете страни по Х. Доказахме, че се получава обикновено ДУ. Знаем, че за всяко обикновено ДУ съшествува такова Пси, че производната на Пси спрямо Х ще е равна на целия този израз. Можем да преобразуваме нашето диференциално уравнение така. Получаваме за решение Пси равно на С. За да намерим Пси, използваме, че частната производна на Пси спрямо Х е равна на този израз. Намираме примитивната функция на двете страни, като добавяме функцията h(Y), която може да сме изгубили при диференцирането. За да намерим и тази функция, взимаме този израз, изчисляваме неговата частна производна спрямо Y и я правим равна на нашия N израз от скобите. По този начин намерихме, че изгубената функция от Y е просто някаква константа. Можехме да я запишем тук, като я добавим от лявата страна на решението и я наречем, например, С1. Но знаем, че решението на оригиналното диференциално уравнение е Пси равно на С. Пси е Х на трета по Y плюс 1/2 Х квадрат по Y. Това равно на С е нашето решение. Константата С1, която не записахме тук, се изважда от двете страни. Това го повторихме толкова пъти, че вече трябва да ти е ясно защо събираме в една тези константи. Това е всичко засега, ще се видим в следващия урок. Вече знаеш повече за интегриращите множители. До скоро!