Решен пример: Закон на Нютон за охлаждането на телата

Ще приложим на практика Закона на Нютон за охлаждането. Да си го припомним: ако с главно Т означим температурата на нещо в градуси по Целзий, а с малка буква t е времето в минути, то скоростта на промяната на температурата спрямо времето ще е пропорционална... записвам коефициента на пропорционалност като –k... Тук приехме, че k е по-голямо от 0. и така, имаме минус k, по разликата между температурата на нашия предмет и околната температура в стаята. Да повторим, защо ни е този минус? Защото, когато температурата на нашия предмет е по-голяма от температурата в стаята, тогава предметът ще намали температурата си. Ще имаме отрицателна скорост, температурата ще намалява с времето. От друга страна, ако температурата е по-ниска от околната температура на стаята, тогава тази разлика ще е отрицателна, а ще получим положителна промяна на температурата. Този предмет ще се затопля. Затова ще вземем противоположното на тази отрицателна стойност, за да получим положителна промяна. Това диференциално уравнение е вече познато от предишното видео за закона на Нютон за охлаждането. Дори видяхме и негово общо решение. Общото решение, което сега ме интересува, защото сега сме в ситуация да имаме топъл предмет, по-точно купа с топла зърнена закуска, поставена в среда със стайна температура. Като знаем това, ще приемем случая, който разгледахме в предишното видео: че температурата на предмета е по-голяма или равна на околната температура. В тази ситуация нашето общо решение... представлява температурата като функция на времето, тя е равна на константа по Е на степен –kt плюс околната температура. Повторих извода от предишното видео. А сега нека да го приложим на практика в този случай. Тук темпеартурата е по-голяма или равна на околната температура. Да добавим още малко конкретика към ситуацията: околната среда е с температура 20 градуса по Целзий. Приемаме, че тя не се променя. Стаята е достатъчно голяма, че дори да се внесе в нея нещо по-горещо, то няма да промени значимо околната температура. Да кажем, че внесеният в стаята предмет, е нашата купа с топла закуска. Започваме да я следим от момента на внасяне в стаята, това е моментът t=0, тогава температурата ѝ е 80 градуса по Целзий. Имаме информацията, вероятно от предишни опити, че след две минути температурата ѝ достига 60 градуса по Целзий. Знаем, че Т(2) е равно на 60 градуса по Целзий. Като имаме тази дадена информация, като използваме закона на Нютон за охлаждането и цялата тази информация, и като знаем, че началната температура на купата със закуска е такава, и знаем как се е охлаждала преди, искаме да намерим колко време е нужно, колко минути ще трябва да минат, когато поставим в стаята купа със закуска с температура 80 ºC, то след колко минути тя ще достигне 40 ºC, като използваме този модел? Нека го запиша. И така, колко време... колко минути са нужни... за охлаждане до 40ºC? Приканвам те да оставиш видеото на пауза и да опиташ да ги намериш. Предполагам, че паузира видеото и се опита да решиш задачата. Важното е да използваш всичката тази информация, за да намериш константите С и К, а след това вече моделът ще е описан. После можеш да го приложиш, за да намериш времето, нужно за постигане на температура 40 ºC. Да го направим. Първото, което знаем, е околната температрура, тя е 20 ºC. Ето тук. Имам 20ºC. Най-очевидната величина, за която можем да го приложим, е началната температура Т(0). Хубавото на Т(0) е, че когато t=0, тази степен е 0, а каквото и да е на степен 0 е равно на 1. Така Т(0) се опростява до С плюс 20ºC. Нека го запиша. Т(0) е дадено, то е 80 ºC. Вече знаем това. Записвам само 80. Ще предполагаме, че е в градуси по Целзий. Това е равно на... когато t=0, тук е Е на степен 0, което е 1. Ще остане С плюс 20. За да намерим С, просто ще извадим 20 от двете страни на уравнението. Остава... Остава 80 минус 20, което е 60, равно на С. С е равно на 60. Успяхме да намерим С. Да видим какво знаем до момента. Знаем, че Т(t)... ще използвам лилаво за него... Т(t), да не бъркаме двете букви, малката и голямата, Т(t) е температурата като функция на времето, това е равно на... ще запазвам цветовете, равно на 60 по Е на степен –kt плюс 20, това 20 е околната температура. Сега да намерим К. Можем да използваме тази информация, за да намерим К. Т(2) е равно на 60 ºC. Ако вземем t=2, това ще е равно на 60 градуса, да го запиша. Ще си оставя място. Имам, че 60 е равно на... равно на 60 по Е на степен –kt, бавя се, за да сменям цвета, Е на степен –kt... да не забравя, имам t=2, значи Е на степен –k по 2. Мога да го запиша и като Е на степен –2К. Е на степен –2К и после, разбира се, имам плюс 20. Имаме нашето +20. Сега трябва само да намерим К от това уравнение. Припомням, че когато и да се вдъхновиш да опиташ самостоятелно, просто остави на пауза. И така, да го направим. Ако извадим 20 от двете страни, получаваме 40 равно на 60 по Е на степен –2К. Разделяме двете страни на 60. Остават 2/3... 40 делено на 60 е 2/3. 2/3 равно на Е на степен –2К. Още следвам цветовете. Това отнема повече време, но ми харесва. Написаното е по-интересно. И така, имаме Е на степен -2К. Сега имам повече място. Сега мога да логаритмувам двете страни. И така, натурален логаритъм. Натурален логаритъм от 2/3 е равно на натурален логаритъм от Е на степен –2К. И ето защо изобщо приложих натуралния логаритъм към двете страни. Сега за да намеря К, трябва да разделя на –2. Получавам К равно на –1/2 по натуралния логаритъм от 2/3. Просто размених страните. 1/2 натурален логаритъм от 2/3. Досега си играх да сменям цветове, затова ще продължа. Запазвам този цвят. И така, вече намерихме всички константи. Вече можем да запишем уравнението. Записваме го като... Да бият барабаните! Това не е краят, Засега получихме Т(t) равно на 60 по Е на степен... имаме –К... отрицателното на отрицателно става положително, остава следното число в степента: 1/2 по натуралния логаритъм от 2/3, това е 1/2 ln(2/3). Имахме минус К, затова взехме минусът на минус. 1/2 по натурален логаритъм от 2/3, което всъщност ще бъде с отрицателен знак. 2/3 е по-малко от Неперовото число Е, затова ще получим, натурален логаритъм от това, който е отрицателно число. Вече изглежда добре: температурата ще намалява с времето. И така, в степента умножавам по t, после плюс 20. Сега остава да намерим каква стойност на t ни дава температура 40 ºC. Да го намерим от уравнението. Искаме това да е 40, значи 40 равно на... ще добавя още един цвят за тази част. 40 ще е равно на 60 по Е на степен 1/2 натурален логаритъм от 2/3, по t плюс 20. Да видим. Можем да извадим 20 от двете страни. Получаваме 20 равно на 60 по Е на степен всичко това, 1/2 ln 2/3 по t. Можем да разделим двете страни на 60. Получаваме 1/3, 20 делено на 60 е 1/3, равно на Е на степен 1/2 натурален логаритъм от 2/3, по t. Сега да логаритмуваме двете страни. Натурален логаритъм от 1/3 равно на 1/2 по натурален логаритъм от 2/3, умножено по t. Почти намерихме t. Само ще разделим двете страни на 1/2 натурален логаритъм от 2/3. Получаваме, че t е равно на това: ln 1/3 разделенo на 1/2 от ln 2/3. Да разделим на 1/2 е същото, като да умножим по 2. После разделяме на натуралния логаритъм от 2/3. Да видим дали това е логичен отговор. Ще използвам калкулатор, или дори Гугъл. Да си припомня. Натурален логаритъм от 1/3... върху натурален логаритъм от 2/3, цялото по 2. Записвам дробта в търсачката: 2 по натурален логаритъм от 1/3 ln 1/3 делено на ln 2/3. Да видим какво казва Гугъл. И така... Обърках нещо. Това е равно на 2 по ln... ясно, объркал съм скобите. Да оправя това. Логаритъм от 1/3 делено на логаритъм от 2/3. Ето така. Като закръглим до стотните, получаваме 5,42. Това прави 5,42 минути. Нали помниш, в тази задача всичко е в минути. Тази величина е приблизително равна на 5,42. 5,42 минути. Готови сме! Толкова време ще е нужно да охладим закуската до 40 ºC.