Експоненциални модели и диференциални уравнения (част 2)

В предишното видео установихме, че ако скоростта на промяна в популацията спрямо времето е пропорционална на размера на популацията, можем да намерим общо решение на диференциалното уравнение, в което има степен. Видяхме, че популацията е равна на някаква константа по числото Е на степен друга константа по времето. В предишното видео избрахме времето да е в дни. Да го запишем така, за да сме сигурни, че можем наистина да моделираме популация по този начин. Да използваме някои конкретни числа. Предполагам, че това ти е познато от преди. Тогава вероятно започваш с предположението, че можеш да използваш показателна функция за модела, и после използваш някакви условия, за да намериш константите. Възможно е така да е правено в часовете по алгебра. Сега ще го направим отново, но вече с увереност, че това е правилно. Да въведем още малко информация. Да речем, че в момента от време t = 0, популацията е равна на 100 насекоми, или от каквито индивиди измерваме популация. В момента от време t = 50, тоест след 50 дни, популацията е 200. Забележи, че тя се е удвоила след 50 дни. Можем ли, с тази информация, да намерим константите С и k? Приканвам те да оставиш видеото на пауза и да опиташ да си отговориш самостоятелно на този въпрос. И така, първото предварително условие е доста елементарно. То ни казва, че за t = 0 Р е равно на 100. На базата на това първо условие казваме, че 100 е равно на С по Е на степен k по 0. Това става Е на степен 0. Е на степен 0 е равно на 1. Значи отдясно остава С по 1 и така намерихме на колко е равно С. Сега можем да запишем, че популацията е равна на 100 по Е на степен kt. Виждаш, че като я изразим по този начин, константата С винаги е равна на началната популация. Сега да видим E на степен kt. Можем да използваме второто условие. Там популацията е 200, да го запишем. Р = 200 за t = 50. Това е след 50 дни. Ще имаме 200 равно на 100 по Е на степен k по 50, нали? Сега t е 50. Да го запиша. k по 50. Сега можем да разделим двете страни на 100, ще получим, че 2 е равно на E на степен 50k. Сега да вземем натуралния логаритъм на двете страни. Натуралният логаритъм на лявата страна е натурален логаритъм от 2. А отдясно имаме натурален логаритъм от Е на степен 50k, това е равно на степенния показател, на който трябва да повдигнем Е, за да получим Е на степен 50k. Значи отдясно остава 50 по k. Само взехме натуралния логаритъм на двете страни. Забележи, че последното уравнение изразява същото: ln 2 е равно на 50k, това е равносилно на уравнението Е на степен 50k равно на 2. Точно каквото имаме тук. Сега можем да намерим k. Разделяме двете страни на 50 и получаваме k равно на натурален логаритъм от 2 върху 50. И сме готови с това. Вече можем да запишем конкретното решение, което отговаря на тези условия. Записваме, че популацията, можем да я запишем като функция на времето, е равна на 100 по Е на степен, тук k е натурален логаритъм от 2 върху 50, записвам това, в степента имам натурален логаритъм от 2 върху 50, после по t. Когато скоростта на промяна на популацията е пропорционална на нейния размер и тези две условия са в сила, тази функция ще описва нарастването на популацията.