Уравнения с разделящи се променливи (стар пример)

Смятам, че ще е полезно да решим още едно диференциално уравнение с отделящи се променливи. Производната на y по отношение на x е равна на у cos от x, върху 1 плюс 2 y квадрат, като е дадено началното условие, че y от 0 е равно на 1. Това означава, че когато х е равно на 0, y е равно на 1. Вече решихме няколко такива, но друг начин за разглеждане на това е, че при диференциалните уравнения с отделящи се променливи всичко, което правим, е неявно диференциране наобратно. Или можем още да кажем, че винаги когато правим неявно диференциране, получаваме диференциално уравнение с отделящи се променливи. Може би виждаш връзката. Хайде да решим това. Имаме отделящите се променливи y и х. Ще умножим двете страни по 1 плюс 2 y квадрат. Получаваме 1 плюс 2 y квадрат по dy/dx е равно на у cos от х. Но все още не сме отделили напълно у от х. Да разделим двете страни на у и да видим. Получаваме 1/y плюс следното. 2 y квадрат, разделено на у е 2у, по dy/dx, е равно на cos от x. Мога да умножа двете страни по dx. 1/y плюс 2y по dy, е равно на косинус от x, dx. И сега можем да интегрираме двете страни. Колко е интеграл от 1/y по отношение на y? Знам, че първата ти реакция, е ln от y (натурален логаритъм), което е правилно, но тук имаме малко по-широка функция от тази, чиято производна всъщност е 1/ y, и това е натурален логаритъм от абсолютната стойност на y. Това е просто малко по-широка функция, защото дефиниционното ѝ множество включва и отрицателни, и положителни стойности, просто не включва 0. Докато за натурален логаритъм от у включва само числата, по-големи от 0. Тогава натурален логаритъм от абсолютната стойност на у е добре, всъщност това са всички числа, без 0, това е производната на 1/у. Това просто е малко по-широка функция. Тогава това е примитивната функция на 1/y, доказахме това, или поне доказахме, че производната на натурален логаритъм от y е 1/y. А коя е примитивната функция на 2y по отношение на у? Тя е у квадрат, и това е равно на следното. Ще запиша плюс С от другата страна. Коя е производната на cos от x? Това е sin от x. И после можем да добавим плюс C. Можем да добавим това плюс C ето тук. Какво беше първоначалното условие? у от нула е равно на 1. Когато х е равно на 0, y е равно на 1. Тогава ln от абсолютната стойност на 1 плюс 1 на квадрат, е равно на sin от 0, плюс C. Имаме натурален логаритъм от 1. А е на коя степен е равно на 1? Това е 0 плюс 1. А синус от 0 е 0. И получаваме, че С е равно на 1. Тогава решението на това диференциално уравнение, е равна на следното. Няма да преписвам уравнението. С е равно на 1, значи мога да задраскам това и да запиша 1. Натурален логаритъм от абсолютната стойност на y плюс у квадрат, е равно на sin от х плюс 1. И ако построиш графиката, ще видиш, че y никога не отива под оста х, даже никога не достига до оста х. Така че можеш да се отървеш от тази абсолютна стойност във функцията. Но това е просто въпрос на техника. Но това е неявният вид на решението на това диференциално уравнение. Това е логично, защото диференциалните уравнения с отделящи се променливи са просто неявни производни наобратно. И по принцип това, което е забавно за диференциалните уравнения, но не е толкова удовлетворяващо при диференциалните уравнения, е това, че има цял куп разнообразни техники за тяхното решаване. Няма един единствен начин, по който се решават всички диференциални уравнения. Има няколко начина за решаване на определен вид диференциални уравнения, но няма само един единствен начин за решаването на всички. И дори днес има нерешени диференциални уравнения, за които единственият начин да се намерят решения, е да се използват компютри. Някой ден ще запиша урок и за това. И всъщност ще видиш, че за повечето приложения това е начинът, по който се решават, защото повечето уравнения, които ще срещнеш в различните науки, независимо дали е икономика или физика, или инженерство, повечето най-често са нерешими, защото съдържат втора или трета производна, и се умножават. Имам предвид, че те са просто много, много сложни и е много трудно да се решат аналитично. И затова ще ги решаваш с числови методи, което често е много по-лесно. Но както и да е, надявам се, че вече имаш добра представа за диференциалните уравнения с отделящи се променливи. Те са просто неявно диференциране наобратно, което всъщност не е нещо ново. Следващото нещо, което ще разгледаме, са обикновените диференциални уравнения, където ще се запознаем с още нови методи. И се надявам, че до края на тази плейлиста ще разполагаш с добър инструментариум за различните начини за решаване поне на решимите диференциални уравнения. Ще се видим в следващия урок.