Решен пример: уравнение с отделящи се променливи, чието решение е в неявен вид (имплицитно решение)

Дадено ни е диференциално уравнение: косинус от Y плюс 2, цялото по производната на Y спрямо Х e равно на 2 Х. Дадено е също, че за конкретно негово решение за Х=1, Y от 1 е равно на 0. Пита се колко е Х, когато Y е равно на числото Пи? Първото, което се питам, когато имам диференциално уравнение, е дали то е с отделящи се променливи? Мога ли да отделя всички Y и DY от едната страна, а всички X и DX да са от другата? За това уравнение, изглежда, отговорът е „да“. Ако умножа двете страни по DX, където DX е диференциала на X, безкрайно малка промяна по Х, тогава ще получа косинус от Y плюс 2 по DY равно на 2 по X по DX. По този начин успях да ги отделя, просто умножих двете страни по DX. Сега Y и DY са от едната страна на уравнението, а X и DX са от другата и вече мога да интегрирам страните. Какво ще получа, като интегрирам двете страни? Примитивната функция на косинус Y спрямо Y e синус от Y, а примитивната функция на 2 спрямо Y е 2Y. Да намерим и дясната страна. Примитивната функция на 2X по отношение на Х е Х на квадрат, да не забравим, че добавяме и различна константа от всяка страна, но е достатъчно да добавим плюс С само от едната страна, за да получим общо решение на диференциалното уравнение с отделящи се променливи. После можем да намерим и търсеното частно решение, като заместим с Х=1 и Y=0. Да го направим, за да намерим С. В случая на Х=1 и Y=0 имаме, че синус от 0 плюс 2 по 0, тук заместих Y с нула, е равно на Х на квадрат, тук Х е 1, равно на 1 на квадрат плюс С. Синус от 0 е 0, 2 по 0 пак е 0, значи отляво имаме 0. Получаваме 0 = 1 + С, значи С е равно на минус 1. Вече можем да запишем частното решение на това диференциално уравнение, което отговаря на дадените условия. Получаваме уравнението синус от Y плюс 2Y е равно на Х на квадрат, имаме С = –1, значи минус 1. Сега да намерим Х, когато Y е равно на числото Пи. Синус от Пи плюс 2 Пи е равно на Х на квадрат минус 1, а знаем, че синус от Пи е равно на 0, и като добавим 1 към двете страни, получаваме 2 по Пи плюс 1 равно на Х на квадрат. Значи Х е равно на плюс или минус корен квадратен от два пъти Пи плюс едно. Записвам отговора: плюс или минус корен квадратен от 2 по Пи плюс 1 и сме готови.