Еднаквост на ъгли означава, че имат равни мерки

В това видео ще докажем, че ъглите са еднакви тогава и само тогава, когато те имат еднаква мярка. Като определение за еднаквост ще използваме определението чрез изометрични трансформации, съгласно което две фигури са еднакви тогава и само тогава, когато съществува серия от изометрични трансформации, която изобразява едната фигура в другата. Какво беше изометрична трансформация? Това е трансформация, която запазва разстоянията между точките и мерките на ъглите. Да започваме. Да започнем с два еднакви ъгъла, за които ще докажем, че имат еднакви мерки – това ще докажем. Значи ъглите са еднакви, тези два ъгъла са еднакви помежду си. Това означава, че съгласно определението за еднаквост чрез изометрични трансформации съществува серия от изометрични трансформации, които изобразяват ъгъл АВС в ъгъл – ще го направя ето тук – изобразяват го в ъгъл DEF. Съгласно определението изометричните трансформации запазват мярката на ъгъла. Значи щом можем да изобразим ъгъла вляво в ъгъла вдясно, щом можем да направим това с трансформации, които запазват мярката на ъгъла, то тогава тези два ъгъла имат еднаква мярка. Сега знаем, че мярката на ъгъл АВС е равна на мярката на ъгъл DEF. Значи доказахме твърдението в зелено в едната посока, че ако ъглите са еднакви, то те ще имат еднакви мерки. Сега да докажем обратното. Да започнем с това ,че мярката на ъгъл АВС е равна на мярката на ъгъл DEF, и да покажем, че тези два ъгъла са еднакви, за което само трябва да покажем, че винаги има серия от изометрични трансформации, които изобразяват ъгъл АВС в ъгъл DEF. За да си помогнем, ще начертая тези ъгли – ще ги начертая много бързо – това е ъгъл АВС, който е дефиниран от два лъча, които започват от една точка. Тази точка е върхът, значи това е ъгъл АВС. Сега ще начертая ъгъл DEF. Той може да изглежда примерно така, това е ъгъл DEF. Сега ще направя първата изометрична трансформация. Ще транслирам ъгъл АВС, така че точка В да се изобрази в точка Е. Ако направим така, ще транслираме по този начин, тогава ъгъл АВС ще изглежда като нещо такова. Точка В е изобразена в точка Е. Ето тук ще се изобрази точка А. Тук ще се изобрази точка С. Понякога можеш да видиш записани образите като А' и В'. Значи това е образът на точка В. Следващото нещо, което ще направя, е да приложа ротация към ъгъл АВС спрямо неговия връх, т.е. спрямо точка В, така че този лъч ВС да съвпадне с лъча EF. Просто ще завъртя целия ъгъл насам, така че лъчът ВС да съвпадне с лъча EF. Може би ще кажеш: "Хей, Сал, не е задължително точка С да съвпадне с точка F, защото те може да са на различно разстояние от върховете". Но това не проблем. Ъгълът може да се дефинира чрез всяка точка от този лъч, така че сега, ако направим тази ротация, и ако лъчът ВС съвпадне с лъча EF, тогава тези два лъча са еквивалентни, понеже мярката на ъгъл АВС е равна на мярката на ъгъл DEF. Това означава също, че лъчът ВА сега съвпада с лъча ED, и ето така, ние получихме серия от изометрични трансформации, която винаги дава резултат. Ако транслираме така, че ъглите да съвпаднат един с друг, а после извършим ротация, така че долният лъч на ъгъла да съвпадне с долния лъч на другия ъгъл, тогава можем да кажем, че горните лъчи на двата ъгъла ще съвпаднат, защото ъглите имат еднакви мерки, а по тази причина ъглите съвпадат напълно, и така разбираме, че ъгъл АВС е еднакъв с ъгъл DEF. Доказателството е готово. Доказахме двете страни на това твърдение. Ако два ъгъла са еднакви, те имат еднакви мерки. Ако два ъгъла имат еднакви мерки, то те са еднакви.