Еднаквост на отсечки означава, че имат равни дължини

Тук са показани няколко определения, които ще използваме, за да направим едно доказателство, с което ще свържем еднаквостта на отсечките и идеята, че те имат равни дължини. Първо имаме тази идея за изометричните трансформации, които сме разглеждали в други уроци, но само да си припомним – това са трансформации, при които се запазва разстоянието между точките. Ако имаме точките А и В, изометрична трансформация може да бъде например транслацията, защото обърни внимание, че след транслацията на тези точки разстоянието между тях остава същото. Може да имаме ротация. Да кажем, че имаме ротация с център точка А. Това разстояние няма да се промени, ротацията не променя разстоянието между точките А и В. Изометрична трансформация е и осевата симетрия. Пак повтарям – при нея не се променя разстоянието между точките А и В. Кои трансформации не са изометрични? Една такава неизометрична трансформация е хомотетията. Имаме мащабиране, при което фигурите се уголемяват или смаляват. Това променя разстоянието, значи изометрична трансформация е всяка трансформация, при която се запазва разстоянието между точките. Друга пример е еднаквостта. В контекста на това видео ще разгледаме определението за еднаквост като фактът, че две фигури са еднакви, тогава и само тогава, когато съществува серия от изометрични трансформации, при които едната фигура се изобразява в другата фигура. Сигурно ще срещнеш и други определения за еднаквост, но това е определението за еднаквост чрез изометрични трансформации, което ще използваме. Ще използваме тези две определения, за да докажем следното: Ако две отсечки са еднакви, това е еквивалентно на това да кажем, че те имат една и съща дължина. Ще си направя малко място ето тук. Първо искам да докажа, че ако отсечката АВ е еднаква с отсечката СD, то тогава дължината на отсечката АВ, е която ще запиша като АВ без чертичка отгоре, е равна на дължината на отсечката СD. Как ще го докажем? Първо трябва да осъзнаем, че ако отсечката АВ е еднаква с отсечката СD, тогава отсечката АВ може да се изобрази върху отсечката СD чрез изометрични трансформации. Това следва от определението за еднаквост. След това можем да кажем, че понеже трансформациите са изометрични, то се запазват разстоянията, което означава, че разстоянията между точките са с еднаква дължина. АВ, разстоянието между точките А и В, или дължината на отсечката АВ, е равна на дължината на отсечката СD. Това може би ти изглежда напълно логично, но ние точно това имаме предвид. Сега да видим дали можем да го докажем по обратния път. Да видим можем ли да докажем, че ако дължината на отсечката АВ е равна на дължината на отсечката СD, тогава отсечката АВ е еднаква с отсечката СD – ще ги начертая ето тук – и нека да кажем, че имаме отсечката АВ ето тук, и сега ще начертая друга отсечка, която има същата дължина, която може би изглежда ето така някак, но така се получава, когато се чертае на ръка. Да наречем тази отсечка СD. За да докажем това, трябва да докажем, че ако две отсечки имат еднаква дължина, тогава винаги съществува серия от изометрични трансформации, които ще изобразят едната отсечка в другата, което по определение означава, че отсечките са еднакви. Сега ще построя тези трансформации. Първата изометрична трансформация ще бъде транслация – подчертавам името на трансформацията – транслация на отсечката АВ по такъв начин, че точка попада върху точка С, или че точка А се изобразява в точка С. Виждаш, че винаги съществува някаква транслация, която може да направи това. Получава се това, когато транслираме отсечката, точка В ще се изобрази ето тук, а след тази транслация точка А се изобразява ето тук. Точка А ще бъде ето тук, а точка В ще бъде ето тук. Втората стъпка е да приложим ротация спрямо отсечката АВ, като център на ротацията е точката А. Значи ще завъртя точка В, докато тя попадне върху лъча СD. Какво се случва при тази трансформация? Тъй като точка А е център на ротацията, точка А ще се изобрази върху точка С при първата транслация, но сега, когато завъртим точка В, тя отива върху лъча, който започва от точка С и стига до точка D и продължава нататък. Къде се намира точка В върху този лъч? Понеже разстоянието между точките А и В е равно на разстоянието между точките D и С, а точите А и С съвпадат, тогава точка В, която лежи върху този лъч, ще се намира точно върху точка D – защото АВ е равно на CD, точка В ще се изобрази в точка D. Ето така доказахме, че ако две отсечки имат равна дължина, тогава винаги съществува серия от изометрични трансформации, която ще изобрази едната отсечка в другата. Следователно, понеже точките А и В са изобразени върху точките С и D, знаем, че отсечката АВ е еднаква с отсечка CD и сме готови с доказателството. Доказахме нашето твърдение и в двете посоки.