Доказване с помощта на трансформации на първи признак за еднаквост на триъгълници (по съответно равни две страни и ъгъл заключен между тях)

В това видео ще разгледаме два различни триъгълника, в които по две от съответните страни имат равни дължини, например тази синята страна има същата дължина като тази синя страна, и тази оранжева страна има същата дължина като тази оранжева страна в другия триъгълник, и съответните ъгли между тези две страни, т.е. двата съответни ъгъла ето тук също имат еднакви мерки. Значи имаме равни страна, ъгъл и страна, и страна, ъгъл и страна. Ако те имат съответно еднакви дължини и мерки, тогава можем да докажем, че тези два триъгълника са еднакви с помощта на определението за еднаквост чрез изометрични трансформации. Казано накратко, ако имаме съответно равни две страни и ъгълът между тях, тогава двата триъгълника са еднакви помежду си. За да докажем това, за да направим дедуктивно доказателство, само трябва да докажем, че винаги съществува изометрична трансформация – когато имаме равни две съответни страни и ъгълът между тях, тогава можем да изобразим единия триъгълник в другия. Защото, ако съществува такава серия от изометрични трансформации, с която можем да постигнем това, тогава по определението за еднаквост чрез изометрични трансформации тези два триъгълника са еднакви. Първото нещо, което можем да направим, е да се върнем към момента, в който казахме, че имаме две страни с равни дължини, например страната АВ и страната DE. Ако имаме две страни с равни дължини, тогава те са еднакви. Винаги можем да изобразим едната страна в другата със серия от изометрични трансформации. Начинът, по който можем да го направим в този случай, е да изобразим първо точка В в точка Е. Сега тук ще запиша точка В'. (записва на екрана) След като направим подобна трансформация, ако направим тази транслация, тогава страната ВА – тази оранжева страна ще дойде ето така. След това можем да направим друга изометрична трансформация, ротация около точка Е или около точка В', която завърта оранжевата страна, както и целия триъгълник с нея – завърта страната в DE. В този случай след втората изометрична трансформация, точка А съвпада с точка D. Можем да кажем, че точка А' е равна на точка D. Въпросът е къде ще се намира точка С. Виждаме разстоянието между точките А и С... Всъщност за целта можем да използваме пергел. Разстоянието между точките А и С е ето такова. (измерва с пергел) Тъй като знаем, че всички изометрични трансформации запазват дължините, знаем, че C', точката, в която се изобразява С, след тези първите две трансформации – разстоянието от точка С' ще бъде същото до точка A'. Значи точка С' ще бъде някъде тук, някъде върху тази крива. Знаем също, че изометричните трансформации запазват мерките на ъглите. Също така знаем, че когато изобразяваме, се запазват мерките на ъглите. Следователно или страна АС ще се изобрази върху тази страна тук, като точно това се случва, и тогава точка F ще съвпадне с точката C' и ние ще сме намерили изометричната трансформация за случая, когато имаме еднаквост съгласно първи признак, така че тези два триъгълника са еднакви. Но съществува и друга възможност, когато ъгълът се запазва, но страната АС се изобразява в посока надолу. Това е друга възможност, при която страната АС, при нашите изометрични трансформации, или след първата серия от изометрични трансформации, и тя изглежда ето така. . В този случай С' ще се изобрази ето тук. В този случай можем да направим още една изометрична трансформация. Можем да използваме осева симетрия спрямо страната DE, или A'B', при която точката С' ще се изобрази ето тук. Но откъде знаем, че точка С' ще се изобрази в точка F? Знаем, че ъгълът ще си запази мярката, защото това е изометрична трансформация. Когато го "прехвърлим" при осевата симетрия спрямо DE, този ъгъл ще се запази. A'C' по тази причина ще се изобразят в DF. И сме готови. Току-що доказахме, че винаги съществува серия от изометрични трансформации, когато два триъгълника са еднакви по първи признак, с които трансформации можем да изобразим единия триъгълник в другия. Следователно двата триъгълника са еднакви.