Практически пример с обем на тяло

В условието е дадено, че един силоз за зърно има форма на конус – в упражнението в Кан Академия словосъчетанието "силоз за зърно" е със син цвят, ако искаш да намериш определението на термина. Това е съоръжение, в което се съхранява зърно, което има отвор в долната част. Силозът има радиус 10 метра в горната си част и височина 8 метра. Ще го начертая. Има формата на конус, а радиусът в горния край – значи основата на конуса се намира отгоре. Предполагам, че можем да се досетим за това. Отгоре е по-широката част на конуса. Силозът ще изглежда горе-долу така. Това е информацията от първото изречение. Радиусът е 10 метра, значи това разстояние тук (чертае) е 10 метра, а височината на конуса е равна на 8 метра. Дадено е, че височината е 8 метра, значи това разстояние тук е 8 метра. Дадено е, че силозът е пълен със зърно до два метра под тавана. Това означава, че силозът е пълен дотук със зърно, приблизително ето до тук е пълен, (чертае) значи това разстояние е равно на 8 минус 2, или частта със зърното има височина 6 метра. Това е информацията във второто изречение. Силозът изпуска зърно, което се пакетира в кутии с размери 0,5 на 0,5 на 0,4 метра. Силозът изпуска зърно със скорост 8 кубични метра на минута. Това е много информация. Първият въпрос е колко е обемът на зърното в силоза. Преди да преминем към другите въпроси, да опитаме да отговорим на първия въпрос. Търсим този обем ето тук, тази червена част на конуса, която е пълна със зърно. Постави видеото на пауза и опитай да го пресметнеш. В предишни уроци учихме, че обемът на един конус е равен на 1/3 по лицето на основата, по височината. Тук знаем, че височината е 6 метра, но трябва да намерим лицето на основата. Как можем да го пресметнем? Трябва да определим радиуса на основата. Ще го означа с r. Как можем да го намерим? Можем да разгледаме тези два триъгълника, които виждаш на моя екран, (показва ги) които по същество са подобни триъгълници. Тази страна е успоредна на тази страна. Този ъгъл е прав. Това е прав ъгъл, защото и двете сечения са успоредни на земята, а този ъгъл е равен на този ъгъл, защото това са две успоредни прави, пресечени с трета, а това са съответни ъгли. Този ъгъл е общ и за двата триъгълника. Значи имаме три съответно равни ъгъла. Тези триъгълници са подобни, следователно можем да съставим отношение. Можем да кажем, че отношението между r и 10 метра е равно на отношението на 6 към 8. Сега можем да намерим r. r е равно на... Умножаваме двете страни по 10. Получаваме 60 върху 8. 8 се съдържа в 60 7 пъти и има остатък 4. Значи това е 7 цяло и 4/8, което е равно на 7,5. За да намерим лицето на основата ето тук, за да намерим b – това е равно на пи по радиуса на квадрат. Значи в този случай b е равно на пи по 7,5, това се измерва в квадратни метри, значи обемът – за да отговорим на първия въпрос – обемът е равен на 1/3 по лицето на основата – лицето на ето тази основа – която е пи по 7,5 квадратни метра. Умножаваме по височината, значи по 6 метра. Да видим, можем малко да опростим. 6 делено на 3 или 6 по 1/3 е равно на 2. Ще си взема калкулатора. Казват ни да закръглим до десета от кубичен метър. Имаме 7,5 на квадрат, по 2, по пи, равно на – ако закръглим до най-близката десета, това е равно на 353,4 кубични метра. Значи обемът е приблизително 353,4 кубични метра. Това е отговорът на първия въпрос. След това ни питат колко изцяло пълни кутии може да се напълнят със зърното. Тук ни описват кутиите. Силозът изсипва зърното в кутии, всяка от които е с размери 0,5 на 0,5 на 0,4 метра. Можем да си представим тези кутии. Те изглеждат ето така. (чертае) Това са 0,5 метра по 0,5 метра, по 0,4 метра, така че обемът на всяка кутия е равен на произведението на тези три размера. Обемът на една кутия е равен на широчината, по дължината, по височината. Значи 0,5 по 0,5, по 0,4, всичко това са метри. Можем да сметнем това и наум, защото 5 по 5 е 25, 25 по 4 е 100, обаче тук имаме една, две, три цифри след десетичната запетая, значи едно, две, три. Това ще бъдат десети или 0,1 кубични метра. Значи една десета от кубичния метър. Колко десети кубични метри можем да запълним с наличното зърно? Това е просто обемът на зърното, който изчислихме, разделен на една десета. Когато делим на една десета, това е същото като да умножаваме по 10. Умножаваме този обем, (353,4 м3) по 10 и получаваме 3534 кутии. Сега да обобщим нещата. С един кубичен метър пълним 10 такива кутии. Затова кубичните метри, които имаме, умножаваме по 10, и това ни дава броя на кутиите, които ще напълним. Един начин да разсъждаваме, което сме правили в други уроци, е да преместим десетичната запетая с едно място надясно, за да получим броя на кутиите. Тук е важно да отчетем факта, че това са изцяло напълнените кутии, защото когато получихме 353,4, ние закръглихме надолу, понеже има още някакво количество, но то не е достатъчно да напълним следващата кутия с това, което пренебрегваме при закръгляването. Последният въпрос е колко време ще отнеме напълването на тези кутии, закръглено до цяла минута? Това е целият обем, като може да се напълнят 8 кубични метра за една минута. Тогава отговорът ще бъде целият обем, т.е. 353,4 кубични метра, разделен на скоростта на пълнене, която е 8 кубични метра за една минута. Това е равно на 353,4 делено на 8, което е равно на – можем да закръглим до цяла минута – равно е на 44 минути. Необходими са приблизително 44 минути за напълването на кутиите. И с това задачата е решена.