Изчисляване на вертикален кръг, получен при въртене на графиката на функция около вертикална права

В последното видео съставихме определен интеграл, за да изчислим обема на това тяло, подобно на обърнат купол, В това видео искам да изчислим този определен интеграл. За да го направим, трябва просто да развием този израз, този квадратен корен от (у + 1) + 2, цялото на квадрат. Да го направим. Това ще бъде равно на π по определен интеграл от у = –1 до у = 3. За да развием това, трябва да намерим корен квадратен от (у + 1), повдигнато на квадрат, което ще бъде просто (у + 1). След това ще имаме 2 пъти произведението на двата члена. 2 пъти 2 по корен квадратен от (у + 1) ще стане 4 по квадратен корен от (у + 1). и после имаме 2 на квадрат, което е + 4. Цялото това нещо е умножено по dу. Можем малко да го опростим. Имаме 1 + 4. Събираме 1 и 4 и получаваме 5. Сега можем вече да намерим примитивната функция. Това е равно на π по... намираме примитивната функция на това – π по... ще използвам различни цветове. Примитивната функция на у е просто у^2 върху 2. Примитивната функция на 4 по квадратен корен от (у + 1)... можеш да го представиш като 4(у +1) на степен 1/2. Можем да използваме интегриране със заместване, което вероятно вече ти е доста лесно и можеш да го направиш наум. Имаме у + 1 на степен 1/2. Производната на (у + 1) е просто 1, което имаме ето тук. ако направим интегриране чрез заместване, можеш да положиш u = у + 1. Тази примитивна функция е равна на... Ако увеличим този степенен показател, получаваме 3/2 по реципрочната стойност 2/3: 2/3 по 4 е 8/3. Значи плюс 8/3 по (у + 1) на степен 3/2. Можеш да направиш проверка. Производната на това ще ни даде този израз ето тук. 3/2 по 2/3 е равно на 4. Намаляваме степенния показател на (у + 1) с 1 и става на 1/2 степен. И накрая имаме... да видим. Какъв цвят още не съм използвал? Накрая получаваме това 5. Примитивната функция на 5 е просто 5у. И сега ще го изчислим за 3 и за –1. За у = 3 и за у = –1. Значи това ще е равно на π. Да го сметнем първо за 3. 3 на квадрат върху 2 е 9/2. 3 + 1 е 4 на степен 3/2. Сега това – да видим. Ако корен квадратен от 4 е 2, 2 на 3 степен е 8, 8 по 8/3 е 64/3, значи 64/3. Имаме 5 по 3. Това е 15... плюс 15. И от това ще извадим този израз, изчислен за –1. Имаме –1 на квадрат върху 2. Това е просто 1/2. –1 плюс 1 е 0 на степен 3/2. Това ще бъде 0 по 8/3. Цялото това е 0, значи дори няма да го пишем. И накрая имаме –1 по 5. Това е –5. И вече сме почти на финала. Остава да направим само още малко сметки, да съберем тези дроби. Да го направим. Цялото това нещо се опростява до π по... изглежда... да видим. Най-малкото общо кратно на тези знаменатели е 6. Да приведем всички дроби към общ знаменател 6. 9/2 е равно на 27/6. 64/3 е равно на 128/6. 15 е равно на 90/6. 1/2 е равно на 3/6. Трябва да умножим по това –1. Тук става –3/6. Минус по минус е плюс. 5 е равно на 30/6, значи плюс 30/6. Това ще ни даде – знаменателят е 6. Умножаваме по π. Имаме това пи тук. И остава само да сметнем числителя. Да видим мога ли да го направя без калкулатор. 27 + 128 е равно на... да видим. Това е 140, 155? Вярно ли е? 155? Да видим, 48 плюс 7 е... да, 155 е. Плюс 90 ни дава 245. Така ли е? Да. Плюс 90 е 245. Вадим от това 3 и получаваме 242. После добавяме 30 и получаваме 272. Получихме 272π/6. И после можем... да видим. 272 и 6 се делят на две. Значи това е равно на... 272 делено на 2 е равно на 136π върху.. Ако разделим знаменателя на 2, остава върху 3. Нали така? Да. 136π/3. 136 не се дели на 3. Значи го опростихме максимално. Това е обемът на това тяло с формата на обърнат купол.