Използване на метода на кръговете при въртене на графиката на функция около вертикална права

Да направим друг пример, в който ще завъртим графиката на функцията около вертикална права, която не е оста у. Когато направим това – ротация на функцията у = х^2 –1. Поне тази част от графиката, завъртаме около тази вертикална права х = –2. И като направим това, ще получим това полуовално тяло, което изглежда ето така. Сега искам да намеря обема на това, като използвам формулата за обем на ротационно тяло. Ще направя тук няколко диска. Това е един диск, който има някаква дебелина dу, която е точно ето до тук. Той има лице на тази повърхност, което е функция от стойността на у. Значи обемът на този диск е равен на тази площ като функция от у, по дебелината на диска, по dу. И след това само ще интегрираме в този интервал, който ни интересува, и ще го направим спрямо у. В този случай интегрираме от у =... Ще стигнем до тази пресечна точка с оста у, където у = –1. И ще стигнем до, да кажем до у = 3. Значи от у = –1 до у = 3. Това ще ни даде обема на нашия обърнат купол. Значи тук можем да започнем с изчисляването на определен интеграл, или просто намираме площта на всеки от тези дискове, които са функция от у. Знаем, че тази площ е функция от у, и тя ще бъде π по радиуса като функция от у, на квадрат. Трябва да определим радиуса като функция от у за всеки от тези у. Колко е радиусът като функция от у? Да помислим за това. Каква е тази крива? Ще я запиша като функция от у. Ако добавим 1 към двете страни – ще разменя двете страни, така че става x^2 = у + 1. Просто добавих 1 към двете страни и размених страните. Получаваме, че х е равно на корен квадратен от (у + 1). Това можем да запишем като... или може да го запишем като f (у), f(у) е равно на корен квадратен от (у + 1). Значи х е равно на функция от у, която е квадратен корен от (у + 1). Какво е разстоянието във всяка точка? Това разстояние – нека да поясня. Това е общото разстояние в хоризонтална посока. Тази първа част тук... ще използвам друг цвят, за да се вижда. Тази част ето тук е просто стойността на функцията. Това е стойността на х. Но после ще прибавим още 2, за да стигнем до ето тук. Тогава целият радиус като функция от у е равен на корен квадратен от (у + 1). Така практически получаваме една от тези х-стойности, ние сме на тази крива, този х е функция от у, това ни дава една от тези стойности на х. И после към това прибавяме 2, значи + 2. Друг начин да го разглеждаме е, че тук имаме стойност на х, и от тази стойност на х вадим х = –2. Когато извадим х = –2, тук прибавяме 2. Надявам се, че разбираш логиката. Това е стойността на х, ще използвам по-хубав цвят – това разстояние ето тук, е стойността на х, която получаваме, като изчислим стойността на функцията у. Но за да получим целия радиус, трябва да изминем още 2, за да стигнем до центъра в нашата ос на въртене. Повтарям, ако просто вземеш дадено у ето тук, ако изчислиш у, получаваш стойността на х. Тази стойност на х ти дава това разстояние. Ако искаш пълното разстояние, трябва да извадиш –2 от тази стойност на х, което е същото като да прибавиш 2, за да получиш целия радиус. И така радиусът като функция от у е този израз тук. Заместваме го тук, сега можем да запишем определения интеграл за обема. Обемът е равен на определен интеграл от –1 до 3 от π по квадрата на радиуса, по dу.. Изнасяме π отпред, правили сме го няколко пъти, по радиуса на квадрат, това е квадратен корен от (у + 1) + 2, на квадрат, това е радиусът, по dу. И пишем определен интеграл и го изчисляваме за тези две гранични стойности. Ще оставя това за следващото видео. Насърчавам те да опиташ да го направим самостоятелно.