Основно съдържание

Курс: Интегрално смятане > Раздел 3

Урок 3: Приложения на интегралите без случаи на движение

Анализ на задачи, съдържащи определени интеграли

Тълкуването на определени интеграли като натрупване на количества може да се използва за решаване на различни текстови задачи с примери от реалния живот.

Задачите за натрупване (или сумарно изменение) са текстови задачи, в които е дадена скоростта на изменение на някаква величина и от нас се иска да намерим с колко ще се измени тази величина във времето. Този род задачи се решават с помощта на определени интеграли. Да видим как става това.

Задачите за натрупване се решават с помощта на определени интеграли

Представи си, че ни е дадена следната информация:

Температурата на супата се повишава със скорост $r (t) = 30 e^{- 0, 3 t}$ ‍ градуса Целзий в минута (като $t$ ‍ е времето в минути). В момента $t = 0$ ‍ температурата на супата е $23$ ‍ градуса Целзий.

Представи си, че от нас се иска да намерим с колко градуса ще се покачи температурата в интервала от $t = 0$ ‍ до $t = 5$ ‍ минути. Това е текстова задача за натрупване (или сумарно изменение). Можем да твърдим това, защото ни е дадена функцията, която моделира скоростта на изменение на величината, и от нас се иска да намерим изменението на тази стойност за даден интервал от време.

За всяка величина, чиято скорост на изменение е дадена чрез функцията

r

, определеният интеграл

\int_{a}^{b} r (t) d t

описва с колко се променя тази величина между

t = a

t = b

В нашия случай размерът на покачването на температурата между

t = 0

t = 5

минути е равен на

\int_{0}^{5} r (t) d t

\int_{0}^{5} r (t) d t \approx 77, 7

градуса по Целзий

Сега си представи, че ни е зададен друг въпрос: Колко е температурата на супата в момента $t = 5$ ‍ минути? Обърни внимание, че тук вече нямаме изменение, а имаме действителна стойност. Но това не трябва да ни плаши, защото определените интеграли могат да ни помогнат и с това! Тук просто трябва да прибавим началното състояние.

Спомни си, че ни беше дадено, че температурата на супата в момента

t = 0

23

градуса Целзий. Когато прибавим това към изменението на температурата в интервала между

t = 0

t = 5

, то ще получим температурата в момента

t = 5

\underset{темп. в t = 0}{\underset{⏟}{23}} + \overset{промяна на темп. от t = 0 до t = 5}{\overset{⏞}{\int_{0}^{5} r (t) d t}}

Тъй като ние вече изчислихме

\int_{0}^{5} r (t) d t

, можем да кажем, че в момента

t = 5

минути температурата е

23 + 77, 7 = 100, 7

градуса Целзий. О, тя направо ври!

Задача 1

Разгледай следната задача:

Населението на един град нараства със скорост $r (t) = 300 \cdot e^{0, 3 t}$ ‍ души годишно (като $t$ ‍ е времето в години). В момент $t = 2$ ‍ населението на града е $1200$ ‍ души. Колко ще бъде населението на града в момент $t = 7$ ‍?

Кой израз можем да използваме, за да решим задачата?

Често срещана грешка: Неправилно използване на началното състояние

В някои задачи за натрупване се търси сумарното изменение, а в други се търси действителната стойност. Разликата е, че когато търсим действителната стойност в някакъв момент, трябва да използваме началното състояние.

Често срещана грешка е да се използва началното състояние, когато се търси сумарното изменение, или да не се използва началното състояние, когато се търси действителната стойност.

Често срещана грешка: Използване на диференциране вместо на интегриране

Приложните текстови задачи са често срещани и в диференциалния, и в интегралния анализ. Когато имаш текстова задача, трябва да решиш дали решението изисква производни, или интеграли. Погрешният избор естествено ще доведе до погрешен резултат.

Производните се използват, когато са ни дадени стойности и се търси скоростта на изменение, докато интегралите се използват, когато ни е дадена скоростта на изменение и се търси някаква стойност.

	Какво е дадено?	Какво липсва?	Какво да използвам?
Диференциално смятане	Количество	Скорост на изменение	Производна
Интегрално смятане	Скорост на изменение	Количество (или промяна на количеството)	Интеграл

Задача 2

Разгледай следната задача:

Дълбочината на водата в един резервоар се променя със скорост $r (t) = 0, 3 t$ ‍ сантиметра в минута (където $t$ ‍ е времето в минути). В момент $t = 0$ ‍ дълбочината на водата е $35$ ‍ сантиметра. Каква е промяната на дълбочината на водата в четвъртата минута?

Кой израз можем да използваме, за да решим задачата?

Често срещана грешка: Неправилно определяне на интервала за интегриране

Както току-що видя, правилният избор на интервала за интегриране е много важен, за да се намери верният отговор. Увери се, че не избираш погрешни крайни точки, особено началната точка, която често е пренебрегвана.

Искаш ли да се упражняваш още? Пробвай това упражнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.