Решени примери: тълкуване на определени интервали в контекст

Приходите на Джулия са r(t) хиляди долара, като t е месец от годината. Джулия е спечелила 3000 долара през първия месец на годината. Какво означава определен интеграл от 1 до 5 от r(t)dt = 19? Имаме няколко варианта за избор. Отново ти препоръчвам да спреш видеото и да пробваш самостоятелно. Сега да го направим заедно. Казват ни, че тя печели 3000 долара през първия месец, и ние виждаме тази тройка тук, така че това е интересно. Може би това е същото нещо, но още не сме сигурни. Да видим този определен интеграл. Определеният интеграл от 1 до 5 от r(t)dt, това е площта под тази крива на функцията, r(t) е скоростта, с която нарастват приходите на Джулия на месечна база. Ако вземем площта под кривата, това ще ни даде нетната промяна на приходите от първия месец до петия месец, с колко е нараснала сумата. Ако съберем това със сумата, която тя е спечелила през първия месец, това показва общата сума, която тя е събрала от началния момент (t = 0) до петия месец (t = 5). И ни казват, че това е равно на 19. Да видим кои от тези варианти съответстват на това. "Джулия получава допълнително 19 000 долара между първия и петия месец." Отговор А може да е верен, ако го нямаше това три ето тук. Тъй като само определения интеграл са допълнителните пари между месеците 1 и 5, но това не е смисълът на израза, в който имаме 3 плюс интеграла е равно на 19. Ако се казваше, че Джулия е спечелила 16 000 допълнително, тогава това е логично, защото можем да извадим три от двете страни и ще получим този резултат, но в подточката не се казва това. "Джулия печели средно по 19 000 на месец." Отново, това не е вярно, защото току-що казахме, че от началото, от момента t =0 чак до петия месец тя е спечелила общо 19 000 долара. Това не е средно по 19 000 на месец. Джулия има 19 000 долара в петия месец. Отново, тук не се казва, че това е станало в петия месец. Тук се казва, че има 3000 през първия месец, и после прибавяме още между първия и петия месец, така че това не е вярно. Дано това е нашият отговор. "До края на петия месец Джулия е спечелила общо 19 000 долара." Да, това е вярно. Тя спечелва 3000 долара през първия месец и после след края на първия месец и до края на петия месец, до края на петия месец тя печели общо 19 000 долара. Да видим още един пример. Тук ни казват, че функцията k(t) дава количеството кетчуп в килограми, произведено в една фабрика по часове в един определен ден. Значи това количество е функция от времето, а не скорост. "Какво представлява определения интеграл от нула до четири от k(t)dt? Приканвам те отново да спреш видеото и да пробваш самостоятелно. Добре, k(t) е количеството кетчуп като функция от времето. Значи k'(t) ще бъде скоростта, с която количеството кетчуп се променя като функция от времето. Но, отново, когато говорим за площта под кривата на скоростта, тя ни казва колко е нетната промяна на началното количество кетчуп. И тази нетна промяна става между t = 0 t = 4... Да видим кой от тези отговори съответства на това. "Средната скорост на промяна на производството на кетчуп през първите четири часа." Не, тук нямаме средна скорост на промяна, има други начини да изчислим това. "Времето за производство на четири килограма кетчуп." Това представлява ли времето, което е нужно, за да се произведат четири килограма кетчуп? Не, четворката е време и виж ето тук. Това ни казва колко кетчуп ще бъде произведен между t = 0 и t = 4 часа. "Моментната скорост на производство при t = 4." Това би било k'(4), интегралът не представя това. "Количеството кетчуп, произведено за първите четири часа." Да, това е верният отговор.