Заместване с x=sin(тита)

Да проверим дали можем да намерим този неопределен интеграл. Идеята, че тригонометрично заместване ще бъде подходящо, идва от това, което имаме в знаменателя под радикала. Когато видиш нещо във вида а на квадрат минус х на квадрат, може да е добра идея – не винаги – но обикновено е знак, че е добра идея да направим заместването х равно на синус от θ (тета). Ако направиш това, то изразът ще стане а на квадрат минус а на квадрат по синус от θ. И ако изнесеш пред скоби а на квадрат, можеш да използваш едно от основните тригонометрични тъждества. Това ето тук е косинус квадрат от θ и това може би ще опрости израза. Може би си мислиш, че това 8 минус 2 по х на квадрат не е толкова очевидно, че е а на квадрат минус х на квадрат. Можем обаче да опростим израза. Предполагам, че може да го запишем по начин, който много прилича на ето този вид. Може да запишем 8 минус 2, но нека го запиша под образеца. Може да запишеш 8 минус 2 по х на квадрат. Ако изнесем 2 пред скоби вътре остава 4 минус х на квадрат. Този израз вече има вида а на квадрат минус х на квадрат. Може да запишеш това като 2 по 2 на квадрат минус х на квадрат. В такъв случай а ще бъде равно на 2. Тогава нека да направим заместването. Да направим заместването х е равно на 2 по синус от θ, а dx ще бъде равно на 2 по косинус от θ dθ. Тогава на какво ще бъде равна тази част под радикала? Вече започнахме да го опростяваме ето тук. Ще се получи 2 по 2 на квадрат минус х на квадрат. х на квадрат е 2 по синус от θ, така че х на квадрат ще бъде равно на 2 на квадрат по синус квадрат от θ. Сега може да изнесем пред скоби 2 на квадрат. Ще се получи 2 по 2 на квадрат, умножено по 1 минус синус квадрат от θ. 2 по 2 на квадрат, което е равно на 8, умножено по косинус квадрат от θ. Ето това се получава под знака за радикал. Нека го направим. Нека заместим в израза тук горе. Ще получим следното. Ще изнеса π (пи) пред интеграла. Получаваме π по dx. dx е равно на 2 по косинус от θ dθ. Получаваме следното. Нека да го изясня. Ще оградя dx със син цвят. Ето това dx тук е 2 по косинус от θ dθ. Нека да запиша 2 по косинус от θ, а dθ ще го запиша ето тук. Може да се запише и в числителя. Тогава тук в знаменателя ще запиша квадратен корен от този израз. Квадратен корен от 8 по косинус квадрат от θ. Квадратен корен от това ще бъде 2 по квадратен корен от 2. Квадратен корен от 8 е равно на 2 по квадратен корен от 2. Нека го запиша. Нека да изясня какво правя. Ето този израз в знаменателя ще бъде равен на квадратен корен от този, което е 2 по квадратен корен от 2. Това е квадратен корен от 8. А квадратен корен от косинус квадрат от θ ще бъде равно на косинус от θ. Може би ще попиташ "Хей, почакай, ако намеря квадратен корен от нещо на квадрат, няма ли това да е равно на абсолютната стойност от косинус θ?". За да премахна абсолютната стойност следва да предположа, че косинус θ е по-голямо от 0. Може да предположим, че косинус θ е положително. Нека разгледаме ето тази част от заместването. Ако искахме да го решим за θ, щяхме да разделим двете страни на 2, и да получим х върху 2 е равно на синус от θ. Или можем да кажем, че θ е равно на аркуссинус от х върху 2. По дефиниция аркуссинус функцията ще ни даде, че θ се намира между минус π/2 и π/2. А в този интервал косинус от θ ще бъде винаги положително. Следователно не е необходимо да записваме абсолютна стойност. Знаем, че косинус от θ е по-голямо от 0. Сега можем да започнем да опростяваме. Косинус от θ се съкращава с косинус от θ. Това 2 се съкращава с това 2. Този квадратен корен може да изнесем пред интеграла. Остава ни само π върху квадратен корен от 2, умножено по неопределен интеграл от dθ. А това ще бъде равно просто на π върху квадратен корен от 2, умножено по θ плюс с. И сме почти готови. Просто следва да запишем израза като функция на х. Вече знаем, че θ е равно на аркуссинус от х върху 2. Можем да кажем, че този неопределен интеграл, или примитивната функция на този израз, ще бъде равна на π върху квадратен корен от 2, умножено по аркуссинус от х върху 2 плюс с. И сме готови! Някои хора биха оставили квадратен корен от 2 в знаменателя. Ако искаш да го премахнеш, можеш да умножиш тази дроб по квадратен корен от 2 върху квадратен корен от 2, и това би опростило израза. Сега обаче ще оставя знаменателя в този ирационален вид. И ето това тук е примитивната функция.