Още задачи с интегриране чрез заместване с използване на тригонометрични тъждества

Нека е даден неопределен интеграл от 1 върху квадратен корен от 3 минус 2х^2. Разбира се тук има и dx. Разглеждайки тази задача не откривам очевиден традиционен метод за намиране на тази примитивна функция. Не намирам производната на израза под радикала на друго място под интеграла, така че не мога да интегрирам чрез заместване. Това което мога да направя е да забележа, че този израз прилича на някое от тригонометричните тъждества, които познавам. Tака че мога да направя заместване с тригонометрична функция. Нека да потърся тригонометрично тъждество, което изглежда подобно на това. Основното тригонометрично тъждество, което следва от определението за единична окръжност, е синус квадрат от θ (тета) плюс косинус квадрат от θ, е равно на 1. Можем да извадим косинус квадрат от θ от двете страни. А ако извадим обаче синус квадрат от θ от двете страни, то ще получим косинус квадрат от θ е равно на 1 минус синус квадрат от θ. Бихме могли да извадим другата функция. И изведнъж ето този израз тук започва да прилича малко на ето този тук. Може би мога да направя алгебрични преобразувания, така че израза под радикала да прилича повече на ето този. Първото нещо, което искам, е да имам числото 1 ето тук – поне това си представям – така че нека изнесем числото 3 от знаменателя. Получава се същото нещо като интеграл от 1 върху квадратен корен от следното. Нека изнеса 3 пред скоби от този израз. 3 по 1 минус 2/3 по х на квадрат. Дотук не направих нищо особено. Просто изнесох числото 3 от този израз. Това е всичко, което направих. Хубавото сега обаче, е, че този израз вече прилича повече на ето този израз. Всъщност ако разгледам този член тук, или положа 2/3 по х на квадрат да е равно на синус квадрат от θ, то ще мога да използвам това основно тъждество. Нека го направим. Нека положим 2/3 по х квадрат да е равно на синус квадрат от θ. Ако коренуваме и двете страни на това уравнение, то ще получим, че квадратен корен от 2 върху квадратен корен от 3, по х, е равно на синус от θ. Ако искам да изразя х, то какво ще получа? Всъщност ще трябва да намерим и двете величини х и θ, така че нека го направим. Първо да изразим θ. Ако изразим θ, получаваме, че θ е равно на аркуссинус, или обратната функция на синус, от квадратен корен от 2 върху квадратен корен от 3 по х. Това се получава, когато изразим θ. Ако искаме да намерим х, то просто умножаваме двете страни на уравнението по реципрочната на ето тази дроб и получаваме, че х е равно на следното. Разделяме двете страни на този израз, или ги умножаваме по реципрочния му, и получаваме х е равно на квадратен корен от 3 върху квадратен корен от 2 по синус от θ. Ще заместим този член със синус квадрат от θ, но това dx тук не може да остане така. Трябва да интегрираме спрямо dθ. На какво е равно dx, изразено чрез dθ? Производната на х спрямо θ е равна на квадратен корен от 3 върху квадратен корен от 2. Производната на този израз спрямо θ е просто косинус от θ, а ако искаме да изразим dx тук, можем просто да запишем, че dx е равно на квадратен корен от 3 върху квадратен корен от 2 по косинус от θ, dθ. Сега вече сме готови да направим заместването. Може да запишем отново този израз ето тук горе. Ще го направя с този червеникав цвят. Вече съм го използвал, така че нека го направя в синьо. Може да запишем отново този израз тук горе. Неопределен интеграл от следното. dx се намира в знаменателя, нали така? Вместо да запиша 1 по dx, мога просто да запиша dx ето тук. Може да бъде dx ето така. Просто умножаваме по dx. А на какво е равно dx? На ето този израз. Ще го запиша в жълто. dx е този израз ето тук. Следователно е равно на квадратен корен от 3 върху квадратен корен от 2 по косинус θ, dθ. На това беше равно dx. Остава да запиша знаменателя в това уравнение. Имам квадратен корен от 3 по следното. Записваме 1 минус. Казахме, че 2/3 по х квадрат е равно на синус квадрат от θ. 1 минус синус квадрат от θ. Как мога да опростя това уравнение? Е, на какво е равно 1 минус синус квадрат от θ? На косинус квадрат от θ. Тогава този израз тук в скобите, е равен на косинус квадрат от θ. Следователно неопределеният интеграл става квадратен корен от 3 върху квадратен корен от 2 по косинус θ dθ. Всичко това е върху квадратен корен от 3 по косинус квадрат от θ. Това вече стана косинус квадрат от θ. Нека да намерим квадратен корен от знаменателя. Ще бъде равно на следното. Ще направя произволна смяна на цветовете. Квадратен корен от 3 върху квадратен корен от 2 по косинус от θ dθ, а всичко това върху квадратен корен от този израз. Равно е на квадратен корен от 3 по квадратен корен от косинус квадрат, т.е. по косинус от θ. Това много опростява задачата ни. Имам косинус θ, разделено на косинус θ. Тези два израза се съкращават. Остава 1, а след това квадратен корен от 3 в числител, разделен на квадратен корен от 3, така че тези два члена също се съкращават. Тогава интегралът много добре се опростява до 1 върху квадратен корен от 2 по dθ. Дори и по-добре. Мога да запиша тази дроб като константа, която да изнеса пред интеграла. Получава се 1 върху квадратен корен от 2, умножено по интеграл от dθ. А това е супер лесно! Равно е на 1 върху квадратен корен от 2 по θ плюс C. Плюс някаква константа. Тоест може да запишеш, че интеграл от θ е равно на θ плюс C, а след това да умножиш константата по тази дроб, но отново ще се получи някаква произволна константа. Мисля, че знаеш как се намира примитивната функция на този израз. Но готови ли сме със задачата? Е, не сме! Искаме да намерим неопределения интеграл спрямо х. Сега трябва да заместим обратно в израза. А на какво е равно θ? Ето тук го намерихме. θ е равно на аркуссинус от квадратен корен от 2 върху квадратен корен от 3 по х. Първоначалният неопределен интеграл е ето този странен израз тук. Сега замествам обратно за θ, т.е. поставям х отново в крайния израз. Получава се 1 върху квадратен корен от 2 по θ. А θ е ето този израз. Просто аркуссинус от квадратен корен от 2 върху квадратен корен от 3 по х. А сега следва константата, т.е. плюс С. Следователно този израз тук е примитивната функция на 1 върху квадратен корен от 3 минус 2 по х квадрат. Надявам се, че тази задача ти е била полезна. Ще направя още няколко урока, където ще преминем през много такива примери, за да придобиеш опит с тях.