Остатък на алтернативни редове

Хайде да изследваме един безкраен ред. Да започнем със сумата за n от 1 до безкрайност от –1 на степен (n +1) върху n^2, което е равно на... Да видим, когато n е положително, това е положително. Това е 1. Това става –1/2^2, което е –1/4, плюс 1/9 минус 1/16, плюс 1/25... Всъщност ще отида доста далеч... Минус 1/36 плюс 1/49, минус 1/64. Добре, ще спра дотук. Но това продължава до безкрайност, и това е ред с алтернативно сменящи се знаци, плюс, минус, и така продължава до безкрайност. Знаем от предишни изследвания на редове, всъщност от критерия на Лайбниц за алтернативни редове, че това отговаря на условието на критерия на Лайбниц, и можем да докажем, че този ред е сходящ. Сега искам да определим към каква стойност е сходящ този ред. Искам да определим стойността на S. Ще направим това чрез определен брой пресмятания, но няма да събираме цялото това нещо. Ще го сметнем приблизително, да кажем, ще намерим частичната (парциалната) сума на първите четири члена. Ще отделя тези четири члена ето тук. Това ще бъде S_4. После ще имаме някакъв остатък, който ще е сумата от останалите членове на реда. Всички тези други членове, даже няма да слагам скоби накрая. Това ще бъде остатъкът до действителната сума, всичко, което остава след първите четири члена. Това е от петия член до безкрайност. Правили сме го и преди. Същинската сума е равна на тази парциална сума плюс този остатък. Можем да сметнем това. Това ще бъде равно на... общият знаменател тук, да видим, 9 по 16 е 144. Това ще бъде 144, после ще имаме 144 минус 36/144 плюс 16/144, минус 9/144. Да видим, това е 144, –36 плюс 16 дава –20, това е 124 минус 9, което е 115. Това става 115/144. Даже не ми трябва калкулатор, за да го сметна. Плюс някакъв остатък. Ако можем да установим някакви граници за остатъка, можем да намерим границите на действителната сума. Можем да намерим колко далеч е това от това тук. Можем да разсъждаваме по два начина. Да го разгледаме. Първото нещо, което търся, е да покажа, че този остатък тук определено е положителен. Насърчавам те да спреш видеото и да опиташ да докажеш самостоятелно, че този остатък тук определено ще бъде положителен. Предполагам, че опита. Ще препиша остатъка. Всъщност просто ще напиша... Ще го напиша ето тук. R_4 е 1/25. Дори няма защо да го пиша отделно. Даже тук ще ти покажа, че това ще бъде положително. Как мога да го покажа? Просто ще групираме по двойки... Тук ще сложа скоби и ще групирам тези членове по двойки. 1/25 минус 1/36. 1/36 е по-малко от 1/25. Това е положително, това е отрицателно. Значи това е положително. После имаме положителен член. Вадим от него по-малък отрицателен член. Този резултат е положителен. И ако групираме по двойки всички тези членове, ще получим цял ред от положителни членове. Ето така ние показахме, че R_4 ще бъде по-голямо от нула. Другото нещо, което искам да докажа, е, че този остатък ще бъде по-малък от първия член, който не сме сметнали, че остатъкът ще бъде по-малко от 1/25. Отново те насърчавам да спреш видеото и да видиш дали можеш да сложиш скоби тук, по такъв начин, че да докажеш, че тази цялата безкрайна сума, този остатък се сумира до нещо, което е по-малко от този пръв член. И този път предполагам, че направи опит, хайде сега да го напишем. Ще използвам същия розов цвят. Нашият остатък, след като намерим парциалната сума на първите четири члена, е равен на 1/25. Начинът, по който ще го запиша, вместо да запиша минус 1/36, ще запиша минус и ще сложа скоби, но сега около втория и третия член. Това е равно на 1/36 минус 1/49. После имаме минус 1/64 минус... Всъщност следващия член е 1/9^2, което е 1/81. После минус, и продължаваме така, още и още до безкрайност. Обърни внимание какво се случва сега. Този член тук е положителен. Имаме по-малко число, което вадим от по-голямо число. Този член тук е положителен. Започваме с 1/25, а после вадим куп положителни неща от него. Това трябва да е по-малко от 1/25. R_4 трябва да е по-малко от 1/25. Даже можем да напишем, че R_4 е по-малко то 0,04. 0,04 е равно на 1/25. Логиката тук е основата на доказателството на критерия на Лайбниц. Това сигурно ти дава много голяма увереност, че това нещо тук ще е по-голямо от нула, и че нараства, колкото повече членове добавяме. Но то има горна граница. Има горна граница 1/25, което е много добър знак, че това е сходящо. Но ние не се интересуваме от това. Тук ни интересува интервала. Сумата е сбор от тези двете. Цялата сума ще бъде по-малко от 115/144 плюс горната граница на R_4. Плюс 0,04, и това ще бъде по-голямо от нашата частична сума плюс нула, защото остатъкът определено е по-голям от нула. Можеш да кажеш, че ще е по-голям от парциалната сума. И затова, с една лесна сметка на ръка, успяхме да установим границите на този безкраен ред. Сега ще взема калкулатора, за да добием по-добра представа за нещата. Ако кажем 115/144, това е 0,7986(1) в период. което е по-малко от S, което е по-малко от това плюс 0,04. Ще го запиша. Плюс 0,04 получаваме 0,8386(1) в период. Можех да го сметна и наум. Не знам защо ми беше този калкулатор. 0,83861 в период. Значи с едно лесно изчисление, което можехме да направим и на ръка, намерихме много добро приближение на S. Основният извод от това е... Ние ще надградим над това, но така видяхме логиката с един конкретен пример, че когато имаме алтернативен ред като този, този вид алтернативни редове, които удовлетворяват критерия на Лайбниц, ако можем да ги запишем като (–1)^n, или (–1)^(n +1) по ред от положителни членове, които намаляват и чиито граници клонят към нула, когато n клони към безкрайност, тези редове са не само сходящи, ние можем дори да изчислим грешката въз основа на първия член, който не включваме. Това беше един пример. Ще бъде различно в зависимост от това дали първият член е положителен или е отрицателен. Тогава въвеждаме понятието за абсолютна стойност, за големина. Основният извод тук е, че стойността на грешката ще бъде не по-голяма от стойността на първия член, който не включваме в частичната сума.