Решен пример: остатък на алтернативни редове

Имаме един безкраен ред. (–1)^(n +1) върху квадратен корен от n. Винаги обичам да визуализирам, затова ще го разпиша. Когато n е равно на 1, първият член е –1 на втора степен, значи ще бъде положителен. Ще бъде 1/1, което е 1, минус 1 върху квадратен корен от две, плюс 1 върху квадратен корен от три, минус 1 върху квадратен корен от 4 и после плюс, минус, и така до безкрайност. Когато разглеждахме критериите за сходимост на безкрайни редове, видяхме редове като този. Този ред удовлетворява критерия на Лайбниц и знаем, че той е сходящ. Да кажем, че е сходящ към някаква стойност S. Но в това видео не ни интересува дали е сходящ или не е, а искам да оценим към коя стойност всъщност е сходящ. Знаем, че можем да оценим това чрез частична (парциална) сума. Нека да означим сумата от първите k члена на реда S д индекс k, и после имаме остатък, значи плюс остатъка без първите k члена. Това започва с (k +1)-ия член. Това, което искам да разбера, е кой е минималният брой членове, кое е най-малкото k, така че нашият остатък, така че абсолютната стойност на нашия остатък да е по-малко или равно на 0,001. Насърчавам те да спреш това видео и на база наученото в предишното за изчисляване на сбор от членове с редуващи се знаци, да опиташ да определиш това. Предполагам, че опита. Сега да си припомним как изглежда R_k. R_k започва от члена (k + 1). Значи това ще бъде –1 на степен (k +1 +1), значи това е –1 на степен (k + 2), върху квадратен корен от (k + 1). Тогава следващият член мога да напиша като –1 на степен (k + 3) върху корен квадратен от (k + 2). И така продължава до безкрайност. След като знаем какво видяхме в примера, ще направим една обобщена проверка в края на видеото, че абсолютната стойност на цялата тази сума ще бъде по-малка от абсолютната стойност на първия член. Ще го запиша. Абсолютната стойност на този остатък R_k... Някои хора наричат това свойство на остатъка на алтернативни редове или както искаш го наричай. Но абсолютната стойност на това цялото нещо ще бъде по-малка или равна на абсолютната стойност на първия член, (–1)^(k + 2) върху квадратен корен от (k + 1). И разбира се, искаме да е по-малко от 1/1000. Значи това трябва да е по-малко или равно на 1/1000. Ако това те вдъхновява, отново те насърчавам да спреш видеото на пауза и да видиш дали можеш да определиш кое е най-малкото k, което удовлетворява това неравенство. Предполагам, че опита. Основното тук е, да разберем, че това е (–1)^(k +2), което определя знака на целия израз. Знаменателят ще бъде положителен. Той ще бъде положителен за всички k, за които корен квадратен е определен, но очевидно, всички тези k са положителни. Числителят сменя знака си. Сменя знака между положителен и отрицателен. Но ако вземем абсолютната стойност, всички положителни или отрицателни членове ще станат положителни. Това нещо отляво е равно на 1 върху квадратен корен от (k + 1) и след това трябва да е по-малко от 0,001. И сега просто трябва да решим това неравенство. Да намерим кои стойности на k удовлетворяват неравенството. Да видим, можем да умножим двете страни по квадратен корен от (k + 1). Значи квадратен корен от (k + 1), и можем да изнесем това от знаменателя. Да умножим двете страни по 1000, защото това е една хилядна, и ще получим едно от дясната страна. Значи по 1000, по 1000. Ще получим, че тези се съкращават в лявата страна. Не е нужно да обръщаме знака, защото умножаваме по положителни неща. Значи имаме 1000 е по-малко от или равно на квадратен корен от (k + 1). Можем да подвигнем на квадрат двете страни и получаваме 1 000 000 е по-малко или равно на (k + 1). И сега изваждаме едно от двете страни и получаваме 999 999 е по-малко или равно на k. Значи k трябва да е по-голямо или равно на 999 999. Спомни си, че търсим най-малкото k, което удовлетворява условията. Значи най-малкото k, ако k трябва да е по-голямо или равно на това, най-малкото k, което удовлетворява, e k = 999 999. Ще го запиша. Значи най-малкото k, за което е изпълнено, е k = 999 999. Сега да докажем, че този остатък, че абсолютната стойност на остатъка определено е по-малко от... Ако вземем частичната сума на първите 999 999 члена, тогава остатъкът всъщност ще е по-малко от това. Досега един вид работехме с допускането, че ще бъде, но нека да го разгледаме и да се уверим, че е така. Отново те насърчавам да спреш видеото и да опиташ самостоятелно. Ще го препиша отново, но ще разпиша R_k. Казахме, че е сходящо към S, и намираме частичната сума на първите 999 999 члена, и твърдим, че това ще бъде в рамките на 1/1000 от това тук вдясно. Значи това ще бъде плюс и значи първият член на остатъка, R_k ще бъде милионният член. Милионният член, само да си припомним, ще бъде минус 1 на степен милион и едно, така че –1 на степен милион и едно, това е равно на –1, защото това е нечетен номер. Значи това ще бъде –1 върху квадратен корен от един милион. Ще го направя така. Ще стане –1 върху квадратен корен от един милион. Следващият член ще бъде плюс 1 върху квадратен корен от един милион и едно. Той сега е положителен, защото това е –1 на степен един милион и две. Следващият ще бъде –1 върху квадратен корен от един милион и две. После плюс... ще направя само още два члена. Едно върху квадратен корен от един милион и три. После минус едно върху квадратен корен от един милион и четири, и после плюс, минус, до безкрайност. Сега искам да се убедим, че това нещо ще бъде, че абсолютната стойност на това е по-малка от 1/1000. Това ще бъде по-малко от абсолютната стойност на първия член. Как ще го направим? Вече знаем, че първият член, ето този член тук, е –0,001, защото е 1 върху 1000 и имаме знак минус отпред. Първото нещо, което можем да осъзнаем, е, че ако сложа скоби ето така, виждаме, че това ще бъде положително, този член е по-голям от този член, този член е по-голям от този, и продължаваме така нататък. Един вид остатъкът започва от минус 1/1000, и после просто добавяме куп положителни неща. Значи няма да става по-отрицателно от това. Знаем, че остатъкът няма да стане по-отрицателен от това, но хайде да докажем и това, че няма да стане по-положителен от 1/1000. За да го докажем, просто трябва да поставим тези скоби по различен начин. Ако ги поставим така, това ще е с отрицателна стойност. Това тук ще е с отрицателна стойност. И можем да съберем с това, плюс това и така ще имаме събрани куп отрицателни стойности. По същия начин, като разгледаме скобите по различен начин, ще можем да кажем, че това определено ще е отрицателно. Този остатък определено ще бъде отрицателна стойност, но не може да е по-отрицателна от първия член. Това означава, че абсолютната стойност на остатъка не може да бъде по-голяма от една хилядна. Когато добавяме още и още членове тук, ние не се отдалечаваме от действителната сума повече, отколкото с този първи член.