Основно съдържание
Курс: Интегрално смятане > Раздел 5
Урок 14: Функция като сума на геометричен редФункция като сума на геометричен ред
Изрази от вида a/(1-r) представят безкрайната сума на един геометричен ред, чийто първи член е a, и отношението между всеки два съседни члена е r. Той се записва като Σa(r)ⁿ. Тъй като геометричните редове са клас от степенните редове, получихме много бързо вида на степенния ред a/(1-r).
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
От нас искат да развием функцията f(х)
в степенен ред, като ни е дадено, че
f(х) = 6/(1 + х^3) Понеже искат от нас да развием
тази функция в степенен ред, може да кажеш: "Просто
ще използвам ред на Маклорен, защото редовете на Маклорен
са най-простите за намиране, тъй като са центрирани
около нула." И веднага може да решиш да сметнеш функцията за нула, да определиш производната ѝ
за нула, втората производна за 0
и така нататък. После можем да използваме
формулата за ред на Маклорен, за
да развием това. Но много скоро
ще се натъкнеш на препятствия, понеже първата производна,
когато смяташ функцията f за х = 0, това е много лесно. Изчисляването на първата
производна е много лесно. Но при втората производна
и третата производна нещата бързо се променят. Може да опростиш, като
кажеш: ще намеря ред на Маклорен за f(u) = 6/(1 + u), където полагаме u = х^3. Намираш развитието по
Маклорен по отношение на u, и после го заместваш с x^3. Така става малко по-лесно, така че това е друг начин. Но най-лесният начин
е да кажеш: "Знаеш ли, това тук, този рационален израз,
изглежда подобно на сума на геометрична
прогресия." Да си припомним само как изглежда
сума на геометрична прогресия. Ако имам а + аr, където а е първият член,
а r е частното, плюс... ще умножа отново по r, плюс а(r)^2, плюс a(r)^3, и продължаваме така
до безкрайност. Знаем, че това
е равно на а, на първия член, върху 1 минус частното, и това просто е формулата за
сумата на безкрайна геометрична прогресия. Обърни внимание какво
имаме тук, f(х), определението за f(х) и сумата на геометричната
прогресия изглеждат много сходно. Ако кажем, че това тук е а, значи а = 6. Ако –r е равно на x^3, само ще преработя това. Мога да представя
знаменателя като 1 – (–x^3). И сега може да кажеш:
"Добре, r може да е равно на –x^3." И така можем да го развием. Ако а е равно на 6, ако r е равно на –х^3, тогава можем да представим функцията
f(х) като геометричен ред, което е много лесно. Да го направим. Ще го направя с този
хубав розов цвят. Първият член ще бъде 6, плюс 6 по частното, 6 по –х^3. Ще го напиша като –6x^3, а после ще умножим
по –x^3 отново. Това ще стане, ако умножа
това по –x^3, това ще бъде +6x^6. И после това ще го умножа
по –6x^3, значи става –6x^9, и продължавам така
още и още. Значи това става...
и после продължава, умножавам го по –x^3, ще получа 6x^12. И продължаваме така
до безкрайност. Основното тук е, това е развитие на ред
на Маклорен за f(х), но основното е да избегнем
всичко това и да видим, че начинът, по който е
дефинирана функцията, прилича много на сума
на геометрична прогресия. Тя може да се приеме
като сума на геометрична прогресия, и можем да използваме това,
за да намерим развитието на степенния ред на нашата функция. Това е много, много
полезен трик.