Интервал на сходимост на геометричен ред

Както казах и в предходното видео, вече сме виждали много примери, в които започваме с развиването на геометричен ред, а после приемаме, че частното му, че абсолютната стойност на на частното е по-малка от 1, и намираме съответната сума. Доказахме тази формула в предишните клипове. Но сега ще подходим по обратния път. Нека да имаме някаква функция... да кажем, че h (х) е равно на 1/(3 + х^2)... и да се опитаме да я представим в този вид. След като я представим в този вид на сума на геометричен ред, можем да помислим какво е частното. И после да я представим като геометричен ред. Насърчавам те да спреш видеото на пауза и да опиташ да го направиш. Да видим, първото нещо, което вероятно ти прави впечатление, че тук имаме 1 вместо 3. Да се опитаме да изнесем пред скоби 3. Това е равно на 1върху 3 по (1 + (х^2)/3). И понеже не искаме тази тройка в знаменателя, можем да представим това като 1/3. Можем да кажем, че това е 1/3 върху... ще го направя с виолетово. 1/3 върху 1. И не искаме просто да прибавим нещо, искаме да извадим частното. Значи 1 минус... ще напиша частното тук в жълто. 1 минус –х^2 върху 3. Сега представихме това в този вид. И сега можем да кажем, че сумата... ще я напиша тук с някакъв нов цвят. Ще използвам синьо. Можем да кажем, че тази сума за n от 0 до безкрайност... да видим, първият член е 1/3. 1/3 по частното на n-та степен. Частното е –х^2 върху 3. Ако искаме да развием това, това ще бъде равно на... първият член е 1/3 по всичко това на нулева степен. Значи става 1/3. Всеки следващ член е просто предходния член по частното. Значи 1/3 по (–х^2)/3 става –1/9 по х^2. Това трябва да умножим по... 1/3 по –1/3, умножаваме по –1/3. И умножаваме по х^2. Следващият член – умножаваме отново по –(х^2)/3. Това става плюс – минус по минус е плюс, +1/27 по х^4. х^2 по х^2 става х на четвърта степен. И продължаваме така до безкрай. Когато това е сходящо, когато сме в интервала на сходимост, това е сходящо към h(х). Какъв е интервалът на сходимост? Насърчавам те да спреш видеото и да помислиш. Интервалът на сходимост е интервалът, в който частното, абсолютната стойност на частното е по-малка от 1. Ще го запиша тук. Абсолютната стойност на (–х^2)/3 е по-малка от 1. Абсолютната стойност, това ще бъде отрицателно число. Това е същото, като да кажем... ще превъртя малко надолу. Това е същото като да кажем, че абсолютната стойност на (–х^2)/3 трябва да е по-малка от 1. Това е друг начин да кажем, че... нещо, което може би ти хрумва, е че х^2 ще бъде положително при всички положения. Предполагам, че мога да кажа, че това ще бъде винаги неотрицателно. Това е друг начин да кажем, че (–х^2)/3 трябва да е по-малко от 1. Нали? Не искам да те обърквам в тази стъпка. Но абсолютната стойност на (–х^2)/3 е просто (–х^2)/3, защото това никога не може да е отрицателно. Можем да умножим двете страни по 3. Ще го направя тук горе. Умножаваме двете страни по 3, тогава х^2 трябва да е по-малко от 3. Това означава, че абсолютната стойност на х трябва да е по-малко от квадратен корен от 3. Можем да кажем, че х е по-голямо от отрицателен корен квадратен от 3, и е по-малко от квадратен корен от 3. Това е интервалът на сходимост. Това е интервалът на сходимост за този степенен ред. Това е геометричен ред, който е частен случай на степенните редове. И в интервала на сходимост това ще бъде равно на 1/(3 + х^2). Когато х принадлежи на този интервал, той ще има същите стойности като оригиналната функция, което е много елегантна идея.