Диференциране на степенен ред

Дадено ни е, че f(х) е равно на сумата от членовете на безкраен ред и трябва да намерим трета производна от f, изчислена за х = 0. Както винаги, спри видеото на пауза и опитай самостоятелно, преди да го направим заедно. Има два начина да подходим. Единият е просто да намерим производната на този израз, докато е записан под знака за сума. Другият начин е да развием f(х) и да намерим производната три пъти, и да преценим дали получаваме смислен отговор. Първо ще го направя по втория начин. Ще развия този израз. f(х) е равно, да видим, когато n е равно на 0, това е –1 на степен нула, което е просто 1, по х на степен 0 + 3, което е равно на х^3 върху 2 пъти по нула, значи 0 + 1!, значи просто върху 1. Следващият член, когато n = 1, сега това е –1 на първа степен, значи отпред имаме знак минус. Минус, и ще бъде 2 по 1 + 3, значи това е х на пета степен, върху две по едно плюс едно, това ще стане 2 + 1 = 3! Значи става х^5/6. Когато х е равно на 2, тук ще имаме положителен знак, това става х^7 върху 5! Така ли е? Да. 5!... Всъщност ще го напиша просто като 5! 5! е равно на 120. Това е равно на 5 по 4 по 6, значи е 120. Това редуване на знаците може да продължи, продължава до безкрайност. Сега да намерим производните. f'(х) ще бъде равно на... правилото за производна от степен – става 3х^2 –5/6х^4 + 7 върху 5! по х^6, просто прилагам правилото за производна от степен, минус, плюс, и продължаваме така до безкрай. Втората производна, f''(х) ще бъде равна на – прилагаме отново правилото за производна от степен. Ще бъде 6х^1 минус 4 по 5/6, ще го запиша като 20/6 по х^3, плюс 6 по 7, това е 42, върху 5! х^5, и можем да продължим нататък. минус, плюс, редуваме знаците между минус нещо, плюс нещо, до безкрайност. Стигаме до третата производна. Третата производна е равна на... да видим, производната на 6х е 6, после имаме 20 по 3 е 60/6, което, разбира се, е 10х^2, плюс 5 по 42, това е колко, 210 върху 5! по х^4, минус, плюс, отново и отново, и после просто ще сметнем това за нула. f""(0), добре – когато х е равно на 0, всички тези членове с хиксове ще бъдат нули, и тук остава само 6. Значи f''', третата производна, изчислена за нула, е просто равно на 6. Другият начин, по който можем да решим това, е като оставим това под знака сигма. Можем да кажем, че това f'(х) е равно на безкрайната сума, и реално, ще го подчертая. Това е, когато развихме f'(х), но можехме да кажем, че f'(х) е равно на сумата за n от нула до безкрайност, и първо намираме производната, ще получим, намираме производната по отношение на х, за тази цел приемаме, че всичко друго е... n ни казва каква е промяната от един член до друг, така че ако намерим производната спрямо х, използваме правилото за производна от степен, изнасяме 2n + 3 отпред, получаваме –1^n по 2n + 3, по х на степен, намалена с 1, 2n + 2 върху (2n + 1)! За да намеря втората производна, това е същото като това. Ако намерим втората производна, f''(х) сега намираме сумата за n от 0 до безкрайност от –1^n... Ще се преместя тук, за да имам повече място. Изнасяме степенния показател отпред, така че става (2n + 3) по (2n + 2), цялото това е върху (2n + 1)!, и това е по х^(2n + 1). Всичко, което правя, макар да изглежда сложно, е просто да изнеса степенния показател отпред, изнасям го отпред, после намалявам степенния показател. Значи (2n + 2 – 1) е равно на (2n + 1). За да намерим третата производна, тя е сумата за n от 1 до безкрайност, от –1^n. Взимаме това, изнасяме го, умножаваме, става (2n + 3) по (2n + 2) по (2n + 1), всичко това е върху (2n + 1)! и след това по х^2n. Сега да сметнем това, когато х е равно на 0. f"(0) е равно на сумата за n от нула до безкрайност от –1^n. Това е интересно. Ще имаме всичко това тук, (2n + 3) по (2n + 2) по (2n +1), всичко това върху (2n + 1)! по 0 на степен 2n. Може би се изкушаваш да кажеш, че ако имаме нула на всички тези степени, може би всичко е нула, но си спомни, че ние започваме с n = 0, така че за всички n, които не са нула, това 0 на тази степен ще е нула, и този член ще изчезне, както видяхме, когато развивахме това. Единственият член, който има значение, е тук, когато n е равно на 0. Така че това просто ще бъде равно на... понеже n е равно на 1, 2, 3, 4, 5, и така до безкрайност, това нещо ще е определящо. по него умножаваме, а то ще бъде 0. И всичко става нула. Така че всичко се свежда до първия член, когато n е равно на 0, и когато n е равно на 0, ще бъде –1 на степен 0. Това ще бъде, това е просто 1. Ще го напиша заедно. По, това е 3 по 2 по 1, върху 1!, и после по нула на степен нула, което е равно на 1. Значи това е равно на 1, и това е равно на 6. И по двата начина, мисля че първият начин беше малко по-лесен, малко по-логичен, по-близко до това, което вече ти е познато, но е важно да разбереш, че направихме едно и също нещо и двата пъти, просто тук запазихме знака за сума, ето тук отдясно. Този начин е удобен, защото ще го виждаш често в математиката, когато искаш нещата да станат по един по-общ начин, и затова може да е полезно да се намират производните, докато се запазва знака за сума.